Sendo C a curva clada pela interseçāo do parabolóido 4 x^2+2 y^2=20 o cilíndro parabólico y=x^2 :
(4 pontos) a) Determine uma parametrização para esta curva.
(4 pontos) b) Determine a curvatura no ponto de coordenadus (1,1,6).

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o paraboloide
z = 4x^2 + 2y^2
e o cilindro parabólico
y = x^2
Precisamos (a) achar uma parametrização r(t) dessa curva e (b) calcular a curvatura em (1,1,6) usando a fórmula
kappa(t)=| r'(t)times r''(t)|| r'(t)|^3

Passo 2

Como y=x^2, escolhemos t=x. Então
y=t^2, z=4t^2+2(t^2)^2=4t^2+2t^4
Uma parametrização conveniente é
r(t)=lang<= t,;t^2,;4t^2+2t^4rang<=

Passo 3

Derivamos para obter as velocidades e acelerações:
r'(t)=lang<= 1,;2t,;8t+8t^3rang<=, r''(t)=lang<= 0,;2,;8+24t^2rang<=
No ponto (1,1,6) corresponde t=1, logo
r'(1)=lang<=1,2,16rang<=, r''(1)=lang<=0,2,32rang<=

Passo 4

Calculamos o produto vetorial e as normas:
r'(1)times r''(1) =lang<=2cdot32-16cdot2,;-(1cdot32-16cdot0),;1cdot2-2cdot0rang<= =lang<=32,-32,2rang<=,
| r'(1)times r''(1)| =raiz32^2+(-32)^2+2^2 =2raiz513, | r'(1)|=raiz1^2+2^2+16^2=raiz261
Logo a curvatura em t=1 é
kappa(1) =2raiz513(raiz261)^3

Passo 5

Simplificando 513=9cdot57 e 261=9cdot29 obtemos
kappa(1) =6raiz5727cdot29raiz29 =2raiz57261raiz29

Resposta

a) r(t)=lang<= t,;t^2,;4t^2+2t^4rang<=
b) kappa(1)=2raiz57261raiz29

Exercícios relacionados