Sendo C a parte do círculo de raio 1 acima do eixo x, determine o sinal da integral de linha das funções abaixo:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2.

Passo 1

O enunciado diz que C é a semicircunferência de raio 1 acima do eixo x (isto é, a parte de x^2+y^2=1 com y\ge0) e pede o sinal de \displaystyle \int_C f(x,y)\,ds
para f(x,y)=x^2+y^2-2. Vamos usar a definição de integral de linha de função escalar:
\int_C f(x,y)\,ds \;=\;\int_a^b f\bigl(\mathbf r(t)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|\,dt,
onde \mathbf r(t) é uma parametrização de C.

Passo 2

Parametrizamos C por
\mathbf r(t) = (\cos t,\;\sin t),\quad t\in[0,\pi],
pois isto percorre a semicircunferência de (1,0) até (-1,0) passando por cima.

Passo 3

Avalia-mos f ao longo de \mathbf r(t):
f\bigl(\mathbf r(t)\bigr) = (\cos^2t+\sin^2t)-2 =1-2 =-1.

Passo 4

Calculamos o diferencial de arco:
\mathbf r'(t)=(-\sin t,\cos t), \quad \bigl\|\mathbf r'(t)\bigr\|=\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}=1.

Passo 5

Então a integral fica
\int_C f\,ds =\int_{0}^{\pi}(-1)\cdot1\,dt =\int_{0}^{\pi}(-1)\,dt =-\pi.

Passo 6

Como -\pi<0, concluímos que a integral de linha é estritamente negativa.

Resposta

A integral de linha é negativa.

Exercícios relacionados