Ache o comprimento de arco de cada curva abaixo nos intervalos especificados:
.
Passo 1
Beleza! Temos a curva
definida para
. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no plano, então vamos precisar da derivada de
e da fórmula de comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada em relação a
:
$$y’=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{4\sqrt{2}}{3}x{3/2}\Bigr)=\tfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot\tfrac{3}{2}x{1/2}=2\sqrt{2},x^{1/2}.
$$
Passo 3
Agora usamos a fórmula do comprimento de arco de
entre
e
:
$$L=\int_ab\sqrt{1+(y’)2},dx.
$$
Passo 4
Para resolver
fazemos a troca de variável
$$
L=\int_{u=1}{9}\sqrt{u},\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_19u{1/2},du=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}[u{3/2}]_19=\frac{1}{12}(9{3/2}-1^{3/2})=\frac{1}{12}(27-1)=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}.
$$