Ache o comprimento de arco de cada curva abaixo nos intervalos especificados:
y=4 raiz23 x^32, 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza! Temos a curva y=4raiz23x^3/2 definida para 0<= x<=1. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no plano, então vamos precisar da derivada de y e da fórmula de comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada em relação a x:
$$y’=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{4\sqrt{2}}{3}x{3/2}\Bigr)=\tfrac{4\sqrt{2}}{3}\cdot\tfrac{3}{2}x{1/2}=2\sqrt{2},x^{1/2}.
$$

Passo 3

Agora usamos a fórmula do comprimento de arco de y=f(x) entre x=a e x=b:
$$L=\int_ab\sqrt{1+(y’)2},dx.
L=integrala^braiz1+(y')^2,dx L=\int_01\sqrt{1+(2\sqrt{2}x{1/2})2},dx=\int_01\sqrt{1+8x},dx.
$$

Passo 4

Para resolver
L=integral0^1raiz1+8x,dx
fazemos a troca de variável u=1+8x, então du=8,dx e dx=du/8. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=9. Assim:
$$
L=\int_{u=1}{9}\sqrt{u},\frac{du}{8}=\frac{1}{8}\int_19u{1/2},du=\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}[u{3/2}]_19=\frac{1}{12}(9{3/2}-1^{3/2})=\frac{1}{12}(27-1)=\frac{26}{12}=\frac{13}{6}.
$$

Resposta

L=136

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