( 3,0 sendo 1,5 cada item) Use a integração dupla para encontrar a área da regiảo do primeiro quadrante, limitada pela parábola , pela circunferência e pelo eixo de duas maneiras:
Integrando primeiro em relação a .
Passo 1
O problema pede a área da região no 1º quadrante limitada pela parábola , pela circunferência e pelo eixo , usando integração dupla integrando primeiro em . Vamos precisar achar a interseção dessas curvas e depois montar a integral em ordem .
Passo 2
Primeiro, encontramos o ponto de interseção entre a parábola e a circunferência substituindo em :
Passo 3
Fazendo , temos , que dá (descartando raiz negativa). Logo e . A circunferência corta o eixo em .
Passo 4
Para integrar em ordem , notamos que para a fronteira superior é a parábola , e para a fronteira superior é a circunferência . O limite inferior em ambos é .
Passo 5
Montamos então a área como soma de duas integrais:
$$A=\int_{0}{1}\int_{0}{2\sqrt{x}}dy,dx;+
\int_{1}{\sqrt5}\int_{0}{\sqrt{5-x^{2}}}dy,dx.$$
Passo 6
Calculando a primeira parte:
Passo 7
Para a segunda parte usamos a primitiva padrão integralraiza^2-x^2,dx=tfracx2raiza^2-x^2+tfraca^22arcsin(x/a):