( 3,0 sendo 1,5 cada item) Use a integração dupla para encontrar a área da regiảo do primeiro quadrante, limitada pela parábola y^2=4 x, pela circunferência x^2+y^2=5 e pelo eixo x de duas maneiras:
Integrando primeiro em relação a y.

Passo 1

O problema pede a área da região no 1º quadrante limitada pela parábola y^2=4x, pela circunferência x^2+y^2=5 e pelo eixo x, usando integração dupla integrando primeiro em y. Vamos precisar achar a interseção dessas curvas e depois montar a integral em ordem dy,dx.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto de interseção entre a parábola e a circunferência substituindo x=dfracy^24 em x^2+y^2=5:
l(y^24r)^2+y^2=5Longrightarrow y^4+16y^2-80=0

Passo 3

Fazendo u=y^2, temos u^2+16u-80=0, que dá u=4 (descartando raiz negativa). Logo y=2 e x=tfracy^24=1. A circunferência corta o eixo x em y=0,,x=raiz5.

Passo 4

Para integrar em ordem dy,dx, notamos que para 0<= x<=1 a fronteira superior é a parábola y=2raizx, e para 1<= x<=raiz5 a fronteira superior é a circunferência y=raiz5-x^2. O limite inferior em ambos é y=0.

Passo 5

Montamos então a área como soma de duas integrais:
$$A=\int_{0}{1}\int_{0}{2\sqrt{x}}dy,dx;+
\int_{1}{\sqrt5}\int_{0}{\sqrt{5-x^{2}}}dy,dx.$$

Passo 6

Calculando a primeira parte:
integral0^1integral0^2raizxdy,dx =integral0^1l[ y r]0^2raizxdx =integral0^12raizx,dx =2cdot23x^3/2|0^1 =43

Passo 7

Para a segunda parte usamos a primitiva padrão integralraiza^2-x^2,dx=tfracx2raiza^2-x^2+tfraca^22arcsin(x/a):
integral1^raiz5raiz5-x^2,dx =l[x2raiz5-x^2+52arcsinl(tfracxraiz5r)r]1^raiz5

Passo 8

Ao avaliar de 1 a raiz5 obtém-se
$$\frac{5\pi}{4}-1-\frac{5}{2}\arcsin\bigl(\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr).
$$

Passo 9

Somando as partes:
A=43+l(5pi4-1-52arcsin(tfrac1raiz5)) =13+52l(tfracpi2-arcsin(tfrac1raiz5)r)

Passo 10

Como tfracpi2-arcsin(1/raiz5)=arcsin(2/raiz5)=arctan(2), a área fica
A=13+52arctan(2)

Resposta

A=13+52arctan(2)

Exercícios relacionados