Verifique que fx y=fy x no caso abaixo.
f(x, y)=x sen y+y sen x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem satisfazem fxy=fyx para a função f(x,y)=xsin y+ysin x. Vamos usar a definição de derivada parcial, lembrando que ao derivar em relação a uma variável, a outra fica constante, e depois aplicar o Teorema de Clairaut (condição de continuidade das derivadas de segunda ordem).

Passo 2

Primeiro, derivamos f em relação a x, tratando y como constante. Usamos que ddx[xsin y]=1cdotsin y e ddx[ysin x]=ycdotcos x. Logo,
fx(x,y)=sin y + ycos x

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y, tratando x como constante. Temos ddy[sin y]=cos y e ddy[ycos x]=1cdotcos x. Assim,
fxy(x,y)=cos y + cos x

Passo 4

Em seguida, derivamos f em relação a y, com x constante. Aplicamos ddy[xsin y]=xcos y e ddy[ysin x]=1cdotsin x. Logo,
fy(x,y)=xcos y + sin x

Passo 5

Por fim, derivamos fy em relação a x, tratando y como constante. Usamos ddx[xcos y]=cos y e ddx[sin x]=cos x. Portanto,
fyx(x,y)=cos y + cos x

Passo 6

Como mostramos que fxy(x,y)=cos y+cos x e fyx(x,y)=cos y+cos x, concluímos que fxy=fyx, conforme esperado pelo Teorema de Clairaut.

Resposta

fxy(x,y)=fyx(x,y)=cos x + cos y.

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