Verifique que
no caso abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem satisfazem
para a função
. Vamos usar a definição de derivada parcial, lembrando que ao derivar em relação a uma variável, a outra fica constante, e depois aplicar o Teorema de Clairaut (condição de continuidade das derivadas de segunda ordem).
Passo 2
Primeiro, derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Usamos que
e
. Logo,
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Temos
e
. Assim,
Passo 4
Em seguida, derivamos
em relação a
, com
constante. Aplicamos
e
. Logo,
Passo 5
Por fim, derivamos
em relação a
, tratando
como constante. Usamos
e
. Portanto,
Passo 6
Como mostramos que
e
, concluímos que
, conforme esperado pelo Teorema de Clairaut.