1. Sendo V=P_{2} e dado um conjunto de elementos de V,\left\{1+x-x^{2} ; 1+x+x^{2} ; 1-2 x^{2}\right\}.
    (a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
    (b) Determine W=\left[v_{1} ; v_{2} ; v_{3}\right].
    (c) O conjunto \beta é uma base de V ? E de W ? Justifique.
    (d) Qual a \operatorname{dim}(W) ?
    (e) Verifique se v_{4}=(3,4,-2) \in W. Caso afirmativo, escreva v_{4} como uma combinação linear da base de W.
    (f) Verifique se v_{5}=(1,1,1) \in W. Caso afirmativo, escreva v_{5} como uma combinação linear da base de W.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=P_{2} (polinômios de grau ≤ 2) e o conjunto de três polinômios
v_{1}=1+x-x^{2},\quad v_{2}=1+x+x^{2},\quad v_{3}=1-2x^{2}.
As perguntas são:
(a) Verificar se o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
(b) Determinar W=[v_{1};v_{2};v_{3}], ou seja, o subespaço gerado por esses vetores.
(c) O conjunto \beta (vou entender \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}) é uma base de V? E de W? Justificar.
(d) Calcular \dim(W).
(e) Verificar se v_{4}=(3,4,-2)\in W (aqui interpreto v_{4} como o vetor de coeficientes na base padrão \{1,x,x^{2}\}); caso afirmativo, escrever v_{4} como combinação linear da base de W.
(f) Fazer o mesmo para v_{5}=(1,1,1).
Dados relevantes já extraídos: os polinômios podem ser tratados como vetores de coeficientes na base padrão \{1,x,x^{2}\}. Assim
v_{1}\leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_{2}\leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_{3}\leftrightarrow \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 2

Explicação do método para (a): para verificar linear independência, tomamos uma combinação linear
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0
onde 0 é o polinômio nulo (vetor \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}). Traduzimos essa igualdade coordenada a coordenada na base padrão \{1,x,x^{2}\}. Isso gera um sistema linear homogêneo nas incógnitas \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}. Se a única solução for \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0, o conjunto é L.I.; se houver solução não trivial, é L.D.
Observação didática: representar polinômios como vetores de coeficientes é padrão em P_{2}. A ideia é que igualdade de polinômios vale coeficiente a coeficiente.

Passo 3

Escrevendo a combinação e as equações coordenadas: usando as representações em coeficientes,
\alpha_{1}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} +\alpha_{2}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +\alpha_{3}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema (equações para as coordenadas constantes, de x e de x^{2}):
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=0,\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{2}=0,\\[4pt] -\,\alpha_{1}+\alpha_{2}-2\alpha_{3}=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo (método de substituição; ensinar para a prova: sempre procure equações simples para isolar variáveis):
Da segunda equação temos
\alpha_{1}+\alpha_{2}=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_{2}=-\alpha_{1}.
Substituindo na primeira:
\alpha_{1}+(-\alpha_{1})+\alpha_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{3}=0.
Substituindo \alpha_{2}=-\alpha_{1} e \alpha_{3}=0 na terceira:
-\,\alpha_{1}+(-\alpha_{1})-2\cdot 0=0 \quad\Rightarrow\quad -2\alpha_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad \alpha_{1}=0.
Então \alpha_{2}=-\alpha_{1}=0. Conclusão: a única solução é a trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Portanto o conjunto é linearmente independente (L.I.).
Dica para prova: às vezes uma das equações é mais simples (aqui a segunda). Procure usá-la primeiro para reduzir o sistema.

Passo 5

Relação com dimensão e span (para (b) e (c) e (d)): sabemos que \dim(P_{2})=3 porque \{1,x,x^{2}\} é uma base com 3 vetores. Se tivermos 3 vetores em P_{2} e eles forem L.I., então automaticamente formam uma base de P_{2} — isto implica que seu span é todo P_{2}.
Aplicando aqui: como \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é L.I. e contém 3 vetores em um espaço de dimensão 3, temos
W=[v_{1};v_{2};v_{3}]=P_{2}.
Logo \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base de V (porque é L.I. e tem \dim(V) vetores) e também é base de W (já que W=V). Além disso,
\dim(W)=\dim(P_{2})=3.
Didática: a definição prática que usei — num espaço de dimensão n, qualquer conjunto de n vetores L.I. é base — é muito útil em provas para evitar eliminação adicional.

Passo 6

Agora (e) — verificar se v_{4}=(3,4,-2)\in W. Procedimento: como W=P_{2}, qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} correspondente a um polinômio de grau ≤2 pertence a W. Mas vamos resolver explicitamente a combinação linear para praticar a técnica que você usará na prova: buscamos \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} tais que
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=v_{4},
ou seja, em coordenadas:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=3,\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{2}=4,\\[4pt] -\,\alpha_{1}+\alpha_{2}-2\alpha_{3}=-2. \end{cases}]

Passo 7

Resolver esse sistema (novamente, use a equação simples para começar): da segunda equação
\alpha_{1}+\alpha_{2}=4.
Subtraindo segunda da primeira:
(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3})-(\alpha_{1}+\alpha_{2})=\alpha_{3}=3-4=-1.
Então \alpha_{3}=-1\). Substituindo em terceira equação: \[-\,\alpha_{1}+\alpha_{2}-2(-1)=-2 \quad\Rightarrow\quad -\alpha_{1}+\alpha_{2}+2=-2 \quad\Rightarrow\quad -\alpha_{1}+\alpha_{2}=-4.
Agora resolvemos o sistema em \alpha_{1},\alpha_{2}:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}=4,\\[4pt] -\,\alpha_{1}+\alpha_{2}=-4. \end{cases}
Somando as duas equações:
2\alpha_{2}=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_{2}=0.
Logo \alpha_{1}=4\]. Assim \(\alpha_{1}=4,\\ \alpha_{2}=0,\\ \alpha_{3}=-1.
Concluímos que v_{4}\in W e a combinação linear em termos da base \beta é
v_{4}=4v_{1}+0v_{2}-1v_{3}=4v_{1}-v_{3}.
Dica prática: frequentemente uma solução tem coeficientes inteiros fáceis; buscar subtração entre equações reduz o trabalho.]

Passo 8

Agora (f) — verificar se v_{5}=(1,1,1)\in W. Novamente procuramos \alpha_{i} tais que
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=v_{5},
ou em coordenadas:
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=1,\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{2}=1,\\[4pt] -\,\alpha_{1}+\alpha_{2}-2\alpha_{3}=1. \end{cases}]

Passo 9

Resolver: da segunda equação temos \alpha_{1}+\alpha_{2}=1\). Subtraindo essa da primeira: \[\alpha_{3}=1-1=0.
Com \alpha_{3}=0, a terceira equação fica
-\,\alpha_{1}+\alpha_{2}=1.
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} \alpha_{1}+\alpha_{2}=1,\\[4pt] -\,\alpha_{1}+\alpha_{2}=1. \end{cases}
Somando as equações: 2\alpha_{2}=2\Rightarrow \alpha_{2}=1\]. Então \(\alpha_{1}=1-\alpha_{2}=0. Assim \alpha_{1}=0,\\ \alpha_{2}=1,\\ \alpha_{3}=0.
Concluímos que v_{5}\in W e a combinação linear é simplesmente
v_{5}=0\cdot v_{1}+1\cdot v_{2}+0\cdot v_{3}=v_{2}.]

Resposta

(a) O conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é L.I.
(b) W=[v_{1};v_{2};v_{3}]=P_{2}.
(c) \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é base de V e também base de W.
(d) \dim(W)=3.
(e) v_{4}=(3,4,-2)\in W e v_{4}=4v_{1}-v_{3}.
(f) v_{5}=(1,1,1)\in W e v_{5}=v_{2}.

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