- Sendo
e dado um conjunto de elementos de
.
(a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
(b) Determine
.
(c) O conjunto
é uma base de
? E de
? Justifique exibindo se
é um gerador de
.
(d) Qual a
?
(a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
(b) Determine
(c) O conjunto
(d) Qual a
Passo 1
O enunciado dá
e o conjunto
com
As perguntas são:
- (a) Verificar se
é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.). - (b) Determinar
(isto é, o subespaço gerado por ). - (c) Responder se
é base de e se é base de . Pedem justificativa e que se exiba se é gerador de . - (d) Determinar
.
Tenho todos os vetores explícitos acima; a resolução começa agora.
Passo 2
Definição e ideia de teste (passo didático curto, prometo que a parte algébrica vem logo): \n
- Dizemos que um conjunto
é linearmente independente se a única solução do sistema
é
. Se existir alguma solução com
, então o conjunto é linearmente dependente. \n
- Uma maneira prática: procurar relações simples entre os vetores (por exemplo, se um vetor for múltiplo de outro, já temos dependência). Vou aplicar isso.
Passo 3
Verificação direta de múltiplos (método rápido e robusto aqui): calcular múltiplos de
para ver se coincidem com
e
.
Mostrando os cálculos:
Como
e
são múltiplos de
, já podemos concluir que há dependência linear (há relações não-triviais entre eles).
Passo 4
Exibição explícita de uma combinação linear não-trivial (para cumprir rigor): a relação encontrada é, por exemplo,
ou também
Ambas são combinações não-triviais (coeficientes não todos nulos) que produzem o vetor nulo, portanto
é linearmente dependente.
Além disso, podemos escrever a combinação geral:
seja . Então
seja
porque cada componente escala da mesma forma (você pode conferir multiplicando componente a componente). Isso mostra que qualquer combinação linear dos três vetores é um múltiplo de
.
Passo 5
Determinação de
(explicação passo a passo): \n
Por definição é o conjunto de todas as combinações lineares de
. Pelo resultado do passo anterior, qualquer combinação linear é um múltiplo de
. Logo
Por definição
Escrito explicitamente,
Isso significa que
é a reta (subespaço unidimensional) que passa pela origem na direção de
.
Passo 6
Resposta às perguntas sobre bases e geradores (com justificativa): \n
- Para ser base de
um conjunto de três vetores precisa ser linearmente independente e gerar todo . Como é linearmente dependente (Passo 4), não é base de . \n - Para ser base de
um conjunto precisa gerar e ser linearmente independente em . gera porque, por definição, (ou seja, o span de é exatamente ): qualquer vetor de é combinação linear dos vetores de . Portanto é um gerador de . Porém não é uma base de porque é linearmente dependente (há vetores redundantes); uma base de pode ser escolhida como, por exemplo, , que é independente e gera .
Passo 7
Cálculo da dimensão de
(explicação): \n
Como encontramos uma base de com um único vetor não nulo, por exemplo
, segue que
Como encontramos uma base de
Observação: é importante que
— e de fato
é não nulo — então a dimensão é exatamente
.
Resposta
(a)
é linearmente dependente (L.D.).
(b)
(c) não é base de
.
gera
(ou seja, é um gerador de
) mas não é base de
porque é linearmente dependente.
(d)
(b)
(c)
(d)