1. Sendo V=\mathbb{R}^{3} e dado um conjunto de elementos de V, \beta=\{(1,-2,-3) ;(2,-4,-6) ;(-3,6,9)\}.
    (a) Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
    (b) Determine W=\left[v_{1} ; v_{2} ; v_{3}\right].
    (c) O conjunto \beta é uma base de V ? E de W ? Justifique exibindo se \beta é um gerador de W.
    (d) Qual a \operatorname{dim}(W) ?

Passo 1

O enunciado dá V=\mathbb{R}^{3} e o conjunto \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} com
v_{1}=(1,-2,-3),\quad v_{2}=(2,-4,-6),\quad v_{3}=(-3,6,9).
As perguntas são:
  • (a) Verificar se \beta é linearmente independente (L.I.) ou linearmente dependente (L.D.).
  • (b) Determinar W=\left[v_{1};v_{2};v_{3}\right] (isto é, o subespaço gerado por \beta).
  • (c) Responder se \beta é base de V e se \beta é base de W. Pedem justificativa e que se exiba se \beta é gerador de W.
  • (d) Determinar \dim(W).
Tenho todos os vetores explícitos acima; a resolução começa agora.

Passo 2

Definição e ideia de teste (passo didático curto, prometo que a parte algébrica vem logo): \n
  • Dizemos que um conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=\mathbf{0}
é a=b=c=0. Se existir alguma solução com (a,b,c)\neq(0,0,0), então o conjunto é linearmente dependente. \n
  • Uma maneira prática: procurar relações simples entre os vetores (por exemplo, se um vetor for múltiplo de outro, já temos dependência). Vou aplicar isso.

Passo 3

Verificação direta de múltiplos (método rápido e robusto aqui): calcular múltiplos de v_{1} para ver se coincidem com v_{2} e v_{3}.
Mostrando os cálculos:
2\,v_{1}=2(1,-2,-3)=(2,-4,-6)=v_{2},
-3\,v_{1}=-3(1,-2,-3)=(-3,6,9)=v_{3}.
Como v_{2} e v_{3} são múltiplos de v_{1}, já podemos concluir que há dependência linear (há relações não-triviais entre eles).

Passo 4

Exibição explícita de uma combinação linear não-trivial (para cumprir rigor): a relação encontrada é, por exemplo,
2\,v_{1}-1\,v_{2}=\mathbf{0}
ou também
3\,v_{1}+1\,v_{3}=\mathbf{0}.
Ambas são combinações não-triviais (coeficientes não todos nulos) que produzem o vetor nulo, portanto \beta é linearmente dependente.
Além disso, podemos escrever a combinação geral:
seja \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}. Então
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3} =(\alpha+2\beta-3\gamma)\,v_{1},
porque cada componente escala da mesma forma (você pode conferir multiplicando componente a componente). Isso mostra que qualquer combinação linear dos três vetores é um múltiplo de v_{1}.

Passo 5

Determinação de W=\left[v_{1};v_{2};v_{3}\right] (explicação passo a passo): \n
Por definição W é o conjunto de todas as combinações lineares de v_{1},v_{2},v_{3}. Pelo resultado do passo anterior, qualquer combinação linear é um múltiplo de v_{1}. Logo
W=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathrm{span}\{v_{1}\}.
Escrito explicitamente,
W=\{t(1,-2,-3)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Isso significa que W é a reta (subespaço unidimensional) que passa pela origem na direção de v_{1}.

Passo 6

Resposta às perguntas sobre bases e geradores (com justificativa): \n
  • Para ser base de V=\mathbb{R}^{3} um conjunto de três vetores precisa ser linearmente independente e gerar todo \mathbb{R}^{3}. Como \beta é linearmente dependente (Passo 4), \beta não é base de V. \n
  • Para ser base de W um conjunto precisa gerar W e ser linearmente independente em W. \beta gera W porque, por definição, W=\left[v_{1};v_{2};v_{3}\right] (ou seja, o span de \beta é exatamente W): qualquer vetor de W é combinação linear dos vetores de \beta. Portanto \beta é um gerador de W. Porém \beta não é uma base de W porque é linearmente dependente (há vetores redundantes); uma base de W pode ser escolhida como, por exemplo, \{v_{1}\}, que é independente e gera W.

Passo 7

Cálculo da dimensão de W (explicação): \n
Como encontramos uma base de W com um único vetor não nulo, por exemplo \{v_{1}\}, segue que
\dim(W)=1.
Observação: é importante que v_{1}\neq\mathbf{0} — e de fato v_{1}=(1,-2,-3) é não nulo — então a dimensão é exatamente 1.

Resposta

(a) \beta é linearmente dependente (L.D.).
(b) W=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathrm{span}\{(1,-2,-3)\}=\{t(1,-2,-3)\mid t\in\mathbb{R}\}.
(c) \beta não é base de V=\mathbb{R}^{3}. \beta gera W (ou seja, é um gerador de W) mas não é base de W porque é linearmente dependente.
(d) \dim(W)=1.

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