Considere a equação diferencial
a y^prime prime+b y^prime+c y=d
onde a, b, c são constantes positivas e d é uma constante qualquer.
Calcule lim t infty y(t).

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t→∞ da solução da EDO linear de 2ª ordem a y'' + b y' + c y = d, com a,b,c>0 constantes e d constante qualquer. O conteúdo é resolução de equações lineares com coeficientes constantes, envolvendo solução geral (parte homogênea e particular) e análise de estabilidade para ver o comportamento assintótico.

Passo 2

Para achar a solução particular, suponho uma solução constante yp, pois o lado direito é constante. Como yp' = 0 e yp'' = 0, substituo na EDO:
acdot 0 + bcdot 0 + c,yp = d implies yp = dc

Passo 3

Agora examino a parte homogênea a y'' + b y' + c y = 0. A equação característica é
a r^2 + b r + c = 0

Passo 4

Como a,b,c>0, a soma das raízes é -b/a<0 e o produto é c/a>0. Isso garante que as raízes têm parte real negativa, então toda solução homogênea decai exponencialmente para zero quando ttoinfty.

Passo 5

A solução geral é y(t)=yh(t)+yp. O termo homogêneo yh(t) → 0 quando ttoinfty, de modo que o comportamento assintótico fica dado por yp = d/c.

Resposta

limttoinftyy(t)=dc

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