Considere a equação diferencial
onde
são constantes positivas e
é uma constante qualquer.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede o limite quando t→∞ da solução da EDO linear de 2ª ordem
, com
constantes e
constante qualquer. O conteúdo é resolução de equações lineares com coeficientes constantes, envolvendo solução geral (parte homogênea e particular) e análise de estabilidade para ver o comportamento assintótico.
Passo 2
Para achar a solução particular, suponho uma solução constante
, pois o lado direito é constante. Como
e
, substituo na EDO:
Passo 3
Agora examino a parte homogênea
. A equação característica é
Passo 4
Como
, a soma das raízes é
e o produto é
. Isso garante que as raízes têm parte real negativa, então toda solução homogênea decai exponencialmente para zero quando
.
Passo 5
A solução geral é
. O termo homogêneo
→ 0 quando
, de modo que o comportamento assintótico fica dado por
.