Em uma cidade existem três linhas para o transporte público: Azul, Verde e Amarela. Uma pesquisa foi realizada com 200 pessoas desta cidade para obter dados sobre a utilização de cada uma das linhas. O resultado desta pesquisa fui o seguinte:
- 80 pessoas disseram que utilizam a linha Azul;
- 72 pessoas disseram que utilizam a linha Verde;
- 43 pessoas disseram que utilizam a linha Amarela;
- 35 pessoas disseram que utilizam as linhas Azul e Verde;
- 37 pessoas disseram que utilizam as linhas Azul e Amarela;
- 28 pessoas disseram que utilizam as linhas Verde e Amarela;
- 80 pessoas disseram que não utilizam transporte público.
Com base nessas informações, determine:
a) Quantas pessoas entrevistadas utilizam transporte público?
b) Quantas das pessoas entrevistadas utilizam as três linhas de ônibus?
c) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e utilizam a linha Amarela?
d) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e não utilizam a linha Verde?
a) Quantas pessoas entrevistadas utilizam transporte público?
b) Quantas das pessoas entrevistadas utilizam as três linhas de ônibus?
c) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e utilizam a linha Amarela?
d) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e não utilizam a linha Verde?
Passo 1
O enunciado nos dá uma pesquisa com
pessoas e três conjuntos de usuários de linhas de ônibus:
– usuários da linha Azul, com
.
– usuários da linha Verde, com
.
– usuários da linha Amarela, com
.
Também temos as interseções de dois em dois:
,
,
,
e pessoas disseram que não utilizam transporte público (ou seja, não estão em
).
O que se pede envolve contagem de uniões e interseções, então vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão e operações com complementares.
–
–
–
Também temos as interseções de dois em dois:
e
O que se pede envolve contagem de uniões e interseções, então vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão e operações com complementares.
Passo 2
Para (a) “Quantas pessoas utilizam transporte público?”, basta subtrair do total aquelas que não usam nenhuma linha.
Passo 3
Para (b) “Quantas utilizam as três linhas?”, escrevemos o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos:
Substituindo os valores e sabendo que
,
Logo,
.
Passo 4
Para (c) “Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e utilizam a linha Amarela?”, queremos
. Como
e
,
Passo 5
Para (d) “Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e não utilizam a linha Verde?”, buscamos
. Note que
.
Então
Então
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)