Em uma cidade existem três linhas para o transporte público: Azul, Verde e Amarela. Uma pesquisa foi realizada com 200 pessoas desta cidade para obter dados sobre a utilização de cada uma das linhas. O resultado desta pesquisa fui o seguinte:
  • 80 pessoas disseram que utilizam a linha Azul;
  • 72 pessoas disseram que utilizam a linha Verde;
  • 43 pessoas disseram que utilizam a linha Amarela;
  • 35 pessoas disseram que utilizam as linhas Azul e Verde;
  • 37 pessoas disseram que utilizam as linhas Azul e Amarela;
  • 28 pessoas disseram que utilizam as linhas Verde e Amarela;
  • 80 pessoas disseram que não utilizam transporte público.
Com base nessas informações, determine:
a) Quantas pessoas entrevistadas utilizam transporte público?
b) Quantas das pessoas entrevistadas utilizam as três linhas de ônibus?
c) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e utilizam a linha Amarela?
d) Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e não utilizam a linha Verde?

Passo 1

O enunciado nos dá uma pesquisa com 200 pessoas e três conjuntos de usuários de linhas de ônibus:
A = usuários da linha Azul, com lvert Arvert=80.
B = usuários da linha Verde, com lvert Brvert=72.
C = usuários da linha Amarela, com lvert Crvert=43.
Também temos as interseções de dois em dois:
lvert Acap Brvert=35, lvert Acap Crvert=37, lvert Bcap Crvert=28,
e 80 pessoas disseram que não utilizam transporte público (ou seja, não estão em Acup Bcup C).
O que se pede envolve contagem de uniões e interseções, então vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão e operações com complementares.

Passo 2

Para (a) “Quantas pessoas utilizam transporte público?”, basta subtrair do total aquelas que não usam nenhuma linha.
lvert Acup Bcup Crvert =200 - 80 =120

Passo 3

Para (b) “Quantas utilizam as três linhas?”, escrevemos o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos:
lvert Acup Bcup Crvert =lvert Arvert+lvert Brvert+lvert Crvert -lvert Acap Brvert-lvert Acap Crvert-lvert Bcap Crvert +lvert Acap Bcap Crvert
Substituindo os valores e sabendo que lvert Acup Bcup Crvert=120,
120 = 80 + 72 + 43 - 35 - 37 - 28 + x
120 = 195 - 100 + x
x = 120 - 95 = 25
Logo, lvert Acap Bcap Crvert=25.

Passo 4

Para (c) “Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e utilizam a linha Amarela?”, queremos
lvert A^ccap Crvert. Como lvert Crvert=43 e lvert Acap Crvert=37,
lvert A^ccap Crvert =lvert Crvert - lvert Acap Crvert =43 - 37 =6

Passo 5

Para (d) “Quantas pessoas não utilizam a linha Azul e não utilizam a linha Verde?”, buscamos
lvert A^ccap B^crvert. Note que
lvert Acup Brvert=lvert Arvert+lvert Brvert-lvert Acap Brvert=80+72-35=117.
Então
lvert A^ccap B^crvert =200 - lvert Acup Brvert =200 - 117 =83

Resposta

a) 120
b) 25
c) 6
d) 83

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