Seja f(x)=lllx^2+1 & se & x<1 2 x+1 & se & x >= 1
f é contínua em 1? f é derivável em 1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função diferente dependendo de x ser menor que 1 ou maior/igual a 1. A pergunta é: essa função é contínua em x = 1 ? E também, será que ela é derivável nesse ponto? Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade. Vamos verificar os limites laterais e a existência da derivada nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em x = 1 .
Para a função ser contínua em um ponto, o limite quando x se aproxima desse ponto pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
Então, vamos calcular:
  1. Valor da função em x = 1 :
f(1) = 2(1) + 1 = 3
  1. Limite pela esquerda ( x to 1^- ):
    Quando x < 1 , f(x) = x^2 + 1 .
limx to 1^- f(x) = 1^2 + 1 = 2
  1. Limite pela direita ( x to 1^+ ):
    Quando x >= 1 , f(x) = 2x + 1 .
limx to 1^+ f(x) = 2(1) + 1 = 3

Passo 3

Agora, comparamos os valores:
  • limx to 1^- f(x) = 2
  • limx to 1^+ f(x) = 3
  • f(1) = 3
Como os limites laterais não são iguais ( 2 neq 3), a função não é contínua em x = 1 .

Passo 4

Mesmo que a função não seja contínua, vamos verificar se ela é derivável em x = 1 .
Para a função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e os limites das derivadas laterais devem ser iguais.
Já vimos que a função não é contínua em x = 1 , então automaticamente ela não é derivável nesse ponto.
Além disso, podemos calcular as derivadas laterais para confirmar:
  1. Derivada pela esquerda ( x to 1^- ):
f'(x) = ddx(x^2 + 1) = 2x f'(1^-) = 2(1) = 2
  1. Derivada pela direita ( x to 1^+ ):
f'(x) = ddx(2x + 1) = 2 f'(1^+) = 2
Mesmo que as derivadas laterais sejam iguais, a falta de continuidade impede a derivabilidade.

Resposta

A função f não é contínua em x = 1 e, consequentemente, não é derivável nesse ponto.

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