Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.
z=x^2+x y+y^2-3 x-6 y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+x y+y^2-3x-6y. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para achar pontos críticos e uso da matriz Hessiana para classificar extremos.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e resolvemos fx=0 e fy=0:
fx=partial fpartial x=2x+y-3, fy=partial fpartial y=x+2y-6
Igualando a zero obtemos o sistema
2x+y=3, x+2y=6
Resolvendo, encontramos x=0 e y=3.

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana
H=fxx&fxyfxy&fyy=2&11&2
O determinante é D=2cdot2-1^2=3>0 e fxx=2>0, logo o ponto crítico é um mínimo local.

Passo 4

Não há outros pontos críticos, nem máximos locais nem pontos de sela para esta função quadrática convexa.

Resposta

O único ponto crítico é (0,3), que é mínimo local com valor f(0,3)=-9. Não existem máximos locais nem pontos de sela.

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