Use a Regra da Cadeia para uma função de duas variáveis para determinar d zd t, onde
z=e^x-2 y, x=cos t, y=t^3

Passo 1

Primeiro passo: resumindo a questão: temos z = e^x-2y, onde x = cos t e y = t^3. O tema aqui é derivadas parciais e regra da cadeia para funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y e também dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais de z. Como z = e^x-2y, a derivada de e^u em relação a u é e^u. Então
partial zpartial x = e^x - 2y
e
partial zpartial y = e^x - 2y cdot (-2) = -2 e^x - 2y

Passo 3

Em seguida, derivamos x e y em relação a t. Sabendo que x = cos t e y = t^3, temos
dxdt = -sin t,
dydt = 3 t^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial x dxdt + partial zpartial y dydt
Substituindo as derivadas que achamos:
dzdt = e^x - 2y cdot (-sin t) + (-2 e^x - 2y) cdot (3 t^2) = e^x - 2y l(-sin t - 6 t^2r)

Passo 5

Por fim, substituímos x = cos t e y = t^3 na expressão obtida para deixar tudo em função de t.

Resposta

dzdt = e^cos t - 2t^3l(-sin t - 6t^2r)

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