Sendo a e b dois números reais tais que \log _{\sqrt{3}}(2 a)=-4 e b=5^{\log _{3} 54 \cdot \log _{5} 3}, calcule o produto a.b

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede o produto a\cdot b.
Informações dadas:
\log_{\sqrt{3}}(2a) = -4
b = 5^{\log_{3}54 \cdot \log_{5}3}
Pergunta: calcular o valor de a\cdot b.

Passo 2

Vou começar achando a. Primeiro, lembro da definição de logaritmo: \log_{p} q = r significa que p^{r}=q. Aplicando isso à primeira equação temos que
2a = (\sqrt{3})^{-4}.
Agora explico o que é \sqrt{3}: \sqrt{3}=3^{1/2}. Também preciso usar a regra de potências que diz (x^{m})^{n}=x^{mn}. Aplicando,
(\sqrt{3})^{-4} = (3^{1/2})^{-4} = 3^{(1/2)\cdot(-4)} = 3^{-2}.

Passo 3

Continuando, 3^{-2} é a mesma coisa que \dfrac{1}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}. Logo a igualdade do passo anterior vira
2a = \frac{1}{9}.
Isolando a (dividindo ambos os lados por 2):
a = \frac{1}{9}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{18}.

Passo 4

Agora vou calcular b. A expressão do enunciado é
b = 5^{\log_{3}54 \cdot \log_{5}3}.
Há uma identidade útil de mudança de base: para qualquer base de referência k,
\log_{c}d = \frac{\log_{k} d}{\log_{k} c}.
Usando isso com a base comum (qualquer base serve), podemos escrever cada logaritmo como razões e ver que há cancelamento:
\log_{3}54 \cdot \log_{5}3 = \frac{\log 54}{\log 3}\cdot\frac{\log 3}{\log 5} = \frac{\log 54}{\log 5}.
E \dfrac{\log 54}{\log 5} é exatamente \log_{5}54 pela mudança de base. Portanto
\log_{3}54 \cdot \log_{5}3 = \log_{5}54.

Passo 5

Substituindo no expoente de b obtemos
b = 5^{\log_{5}54}.
Aqui uso outra propriedade básica dos logaritmos e exponenciais: x^{\log_{x} y}=y sempre que x>0 e x\neq1. Aplicando essa propriedade,
b = 54.

Passo 6

Agora faço o produto a\cdot b. Substituo os valores que achei:
a\cdot b = \frac{1}{18}\cdot 54.
Faço a simplificação: 54 = 18\cdot 3, então
\frac{1}{18}\cdot 54 = \frac{1}{18}\cdot (18\cdot 3) = 3.

Resposta

\,3\,

Exercícios relacionados