Sendo a e b dois números reais tais que
e
, calcule o produto a.b
Passo 1
O enunciado dá duas informações e pede o produto
.
Informações dadas:
Pergunta: calcular o valor de
.
Passo 2
Vou começar achando
. Primeiro, lembro da definição de logaritmo:
significa que
. Aplicando isso à primeira equação temos que
Agora explico o que é
:
. Também preciso usar a regra de potências que diz
. Aplicando,
Passo 3
Continuando,
é a mesma coisa que
. Logo a igualdade do passo anterior vira
Isolando
(dividindo ambos os lados por
):
Passo 4
Agora vou calcular
. A expressão do enunciado é
Há uma identidade útil de mudança de base: para qualquer base de referência
,
Usando isso com a base comum (qualquer base serve), podemos escrever cada logaritmo como razões e ver que há cancelamento:
E
é exatamente
pela mudança de base. Portanto
Passo 5
Substituindo no expoente de
obtemos
Aqui uso outra propriedade básica dos logaritmos e exponenciais:
sempre que
e
. Aplicando essa propriedade,
Passo 6
Agora faço o produto
. Substituo os valores que achei:
Faço a simplificação:
, então