Sabe - se que \log _{\mathrm{m}} 2=\mathrm{a} e \log _{\mathrm{m}} 3=\mathrm{b}. Calcule o valor de \log _{m} \frac{64}{2,7}-\log _{m} 60.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor final:
  • Sabemos que \log_{m} 2 = a.
  • Sabemos que \log_{m} 3 = b.
  • Precisamos calcular o valor de
\log_{m}\frac{64}{2,7} - \log_{m}60.
Essas são todas as informações fornecidas. Agora vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro uso a propriedade dos logaritmos que transforma diferença em quociente. A propriedade diz que, para x>0 e y>0,
\log_{m}x - \log_{m}y = \log_{m}\!\left(\frac{x}{y}\right).
Aplicando aqui obtemos
\log_{m}\frac{64}{2,7} - \log_{m}60 = \log_{m}\!\left(\frac{\dfrac{64}{2,7}}{60}\right).

Passo 3

Agora simplifico a expressão interna. Primeiro passo: escrever 2,7 como fração. Como 2,7=\dfrac{27}{10}, temos
\frac{64}{2,7} = \frac{64}{\dfrac{27}{10}} = \frac{64\cdot 10}{27} = \frac{640}{27}.
Em seguida dividimos por 60:
\frac{\dfrac{640}{27}}{60} = \frac{640}{27\cdot 60} = \frac{640}{1620}.

Passo 4

Simplifico a fração \dfrac{640}{1620}. Dividindo numerador e denominador por 20 (pois 20 é um divisor comum),
\frac{640}{1620} = \frac{640\div 20}{1620\div 20} = \frac{32}{81}.
Logo a expressão inteira vale
\log_{m}\frac{32}{81}.

Passo 5

Escrevo 32 e 81 como potências de 2 e 3:
32 = 2^{5},\qquad 81 = 3^{4}.
Portanto
\log_{m}\frac{32}{81} = \log_{m}\!\left(\frac{2^{5}}{3^{4}}\right).

Passo 6

Uso agora duas propriedades dos logaritmos: a do quociente (já usada) e a da potência, que diz
\log_{m}(x^{k}) = k\,\log_{m}x.
Aplicando-as:
\log_{m}\!\left(\frac{2^{5}}{3^{4}}\right) = \log_{m}2^{5} - \log_{m}3^{4} = 5\log_{m}2 - 4\log_{m}3.

Passo 7

Finalmente substituo \log_{m}2 = a e \log_{m}3 = b:
5\log_{m}2 - 4\log_{m}3 = 5a - 4b.

Resposta

5a-4b

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