Sendo A e B duas matrizes n times n invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
[ccA & B B^-1 & A^-1]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes invertíveis A,BinR^ntimes n e pede para investigar a invertibilidade da matriz em bloco
M= A & B B^-1 & A^-1
O conteúdo principal aqui é a técnica de complemento de Schur para matrizes em bloco e a fórmula de inversão de blocos.

Passo 2

Escrevemos
M=A & B C & D com C=B^-1,;D=A^-1
Como A é invertível, podemos usar o complemento de Schur em torno de A:
S=D - C,A^-1B

Passo 3

Calculamos o complemento de Schur
S = A^-1 ;-; B^-1,A^-1,B = B^-1l(B,A^-1-A^-1Br)
Pelo teorema do complemento de Schur, M é invertível se, e somente se, S é invertível.

Passo 4

Concluímos que
M é invertível Long<=ftrightarrow B,A^-1-A^-1B é invertível éíéí
Em particular, se A e B comutam então B,A^-1=A^-1B e S=0, logo M não é invertível.

Passo 5

Quando B,A^-1-A^-1B for invertível, a inversa de M é dada pela fórmula padrão de blocos:
M^-1 = A^-1 + A^-1B,S^-1B^-1A^-1 & -,A^-1B,S^-1[6pt] -,S^-1B^-1A^-1 & S^-1 ,
once
S = B^-1l(B,A^-1-A^-1Br)
]

Passo 6

Para ilustrar:
. Caso não invertível (comutação): seja , . Então
que tem posto apenas e, portanto, não é invertível.
. Caso invertível (não comutam): em tome
Calcula-se
que tem determinante . Logo é invertível e sua inversa vale a fórmula do passo anterior.

Resposta

A matriz
A & B B^-1 & A^-1
é invertível se, e somente se, a matriz B,A^-1-A^-1B for invertível. Nesse caso, a inversa é
A^-1 + A^-1B,S^-1B^-1A^-1 & -,A^-1B,S^-1[6pt] -,S^-1B^-1A^-1 & S^-1 , S=B^-1l(B,A^-1-A^-1Br)
Se A e B comutam, então B,A^-1-A^-1B=0 e o bloco é singular.
]

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