Sendo
e
duas matrizes
invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes invertíveis
e pede para investigar a invertibilidade da matriz em bloco
O conteúdo principal aqui é a técnica de complemento de Schur para matrizes em bloco e a fórmula de inversão de blocos.
Passo 2
Escrevemos
Como
é invertível, podemos usar o complemento de Schur em torno de
:
Passo 3
Calculamos o complemento de Schur
Pelo teorema do complemento de Schur,
é invertível se, e somente se,
é invertível.
Passo 4
Concluímos que
Em particular, se
e
comutam então
e
, logo
não é invertível.
Passo 5
Quando
for invertível, a inversa de
é dada pela fórmula padrão de blocos:
once
]
Passo 6
Para ilustrar:
que tem posto apenas
e, portanto, não é invertível.
Calcula-se
que tem determinante
. Logo
é invertível e sua inversa vale a fórmula do passo anterior.
Resposta
A matriz
é invertível se, e somente se, a matriz
for invertível. Nesse caso, a inversa é
Se
e
comutam, então
e o bloco é singular.
]
]