Sendo A e B duas matrizes n times n invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
[ccA & A+B 0 & B]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas invertíveis A e B de ordem n e pede para analisar a invertibilidade da matriz em bloco
M = A & A+B 0 & B
O conteúdo principal aqui é o fato de que matrizes triangulares em bloco têm determinante igual ao produto dos determinantes dos blocos da diagonal, e que existe uma fórmula de inversa para matrizes triangulares em bloco.

Passo 2

Observamos que M é triangular superior em bloco, com blocos diagonais A e B. Como det(M)=det(A),det(B) e A e B são invertíveis, det(A)neq0 e det(B)neq0, segue que
det(M);=;det(A),det(B);neq;0,
logo M é necessariamente invertível.

Passo 3

Para encontrar a inversa de
M=A&C0&B,
onde C=A+B, usamos a fórmula padrão
M^-1 = A^-1 & -,A^-1,C,B^-1 0 & B^-1
Substituindo C=A+B, obtemos
M^-1 = A^-1 & -,A^-1(A+B),B^-1 0 & B^-1

Resposta

A & A+B0 & B é sempre invertível, e sua inversa é
A^-1 & -,A^-1(A+B),B^-1 0 & B^-1

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