Sendo e duas matrizes invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas invertíveis A e B de ordem n e pede para analisar a invertibilidade da matriz em bloco
M = A & A+B 0 & B
O conteúdo principal aqui é o fato de que matrizes triangulares em bloco têm determinante igual ao produto dos determinantes dos blocos da diagonal, e que existe uma fórmula de inversa para matrizes triangulares em bloco.
Passo 2
Observamos que M é triangular superior em bloco, com blocos diagonais A e B. Como det(M)=det(A),det(B) e A e B são invertíveis, det(A)neq0 e det(B)neq0, segue que