Sendo A e B duas matrizes n times n invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
[llA & A+B A & A-B]

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes invertíveis A,BinR^ntimes n e pede para analisar a invertibilidade do bloco
M= A & A+B A & A-B inR^2ntimes2n,
justificando a resposta e, se for invertível, exibindo M^-1. Vamos usar operações de linhas em blocos e propriedades de matrizes triangulares.

Passo 2

Aplicamos a operação de linha em bloco
o que equivale a multiplicar à esquerda pela matriz elementar em blocos
Isso produz

Passo 3

Como det(E)=1, temos det(M)=det(E,M)=det(A),det(-2B)=(-2)^ndet(A)det(B).
Como A e B são invertíveis, det(M)neq0. Logo, M é necessariamente invertível.

Passo 4

Para achar , escrevemos
de onde
A inversa de , que é triangular superior, é
Além disso
Logo
]

Passo 5

Simplificando tfrac12A^-1(A+B)B^-1=tfrac12l(A^-1B,B^-1+A^-1r)=tfrac12(B^-1+A^-1), obtemos a forma final
M^-1 =12 3A^-1+B^-1 & A^-1+B^-1 -,B^-1 & -,B^-1

Resposta

M é sempre invertível e
M^-1 =12 3A^-1+B^-1 & A^-1+B^-1 -,B^-1 & -,B^-1

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