Sendo e duas matrizes invertíveis, diga, justificando, quais das seguintes matrizes são necessariamente invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades por meio de exemplos.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes invertíveis e pede para analisar a invertibilidade do bloco
justificando a resposta e, se for invertível, exibindo . Vamos usar operações de linhas em blocos e propriedades de matrizes triangulares.
Passo 2
Aplicamos a operação de linha em bloco
o que equivale a multiplicar à esquerda pela matriz elementar em blocos
Isso produz
Passo 3
Como , temos .
Como e são invertíveis, . Logo, é necessariamente invertível.
Passo 4
Para achar , escrevemos
de onde
A inversa de , que é triangular superior, é
Além disso
Logo
]
Passo 5
Simplificando tfrac12A^-1(A+B)B^-1=tfrac12l(A^-1B,B^-1+A^-1r)=tfrac12(B^-1+A^-1), obtemos a forma final