Exercício 16. Considere a relação de recorrência:
Encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente tem uma relação de recorrência do tipo:
Além disso, temos as condições iniciais
e
.
Matéria envolvida: Relações de recorrência lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver uma equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente usa a equação característica. Assumimos uma solução do tipo
, e substituímos na equação homogênea:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da relação, que é
.
Como o lado direito é uma função polinomial de
, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio. Vamos tentar:
onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 4
Substituímos
na relação de recorrência:
Vamos expandir e simplificar:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e os termos constantes:
Resolvendo o sistema:
- De
, temos . - Substituindo
na segunda equação: .
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da relação de recorrência é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais:
- Para
:
Ou seja:
- Para
:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
Multiplicando a Equação 1 por 2:
Subtraindo da Equação 2:
Agora, substituindo
na Equação 1:
Resposta
A solução da relação de recorrência é: