Exercício 16. Considere a relação de recorrência:
an+2-5 an+1+6 an=4 n+2 a0=0, a1=1
Encontre an.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! A gente tem uma relação de recorrência do tipo:
an+2 - 5an+1 + 6an = 4n + 2
Além disso, temos as condições iniciais a0 = 0 e a1 = 1.
Matéria envolvida: Relações de recorrência lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar resolver uma equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
an+2 - 5an+1 + 6an = 0
Para resolver isso, a gente usa a equação característica. Assumimos uma solução do tipo an = r^n, e substituímos na equação homogênea:
r^n+2 - 5r^n+1 + 6r^n = 0 implies r^2 - 5r + 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 5r + 6 = 0 implies (r - 2)(r - 3) = 0 implies r = 2 ou r = 3
Então, a solução geral da parte homogênea é:
an^h = A cdot 2^n + B cdot 3^n
onde A e B são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da relação, que é 4n + 2.
Como o lado direito é uma função polinomial de n, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio. Vamos tentar:
an^p = Cn + D
onde C e D são constantes a serem encontradas.

Passo 4

Substituímos an^p = Cn + D na relação de recorrência:
(C(n+2) + D) - 5(C(n+1) + D) + 6(Cn + D) = 4n + 2
Vamos expandir e simplificar:
C n + 2C + D - 5C n - 5C - 5D + 6C n + 6D = 4n + 2
Agrupando os termos semelhantes:
(2C) n + (-3C + 2D) = 4n + 2
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de n e os termos constantes:
2C = 4 -3C + 2D = 2
Resolvendo o sistema:
  1. De 2C = 4, temos C = 2.
  2. Substituindo C = 2 na segunda equação: -6 + 2D = 2 implies 2D = 8 implies D = 4.
Então, a solução particular é:
an^p = 2n + 4

Passo 5

A solução geral da relação de recorrência é a soma da solução homogênea com a solução particular:
an = an^h + an^p = A cdot 2^n + B cdot 3^n + 2n + 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar A e B.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais:
  1. Para n = 0:
a0 = A cdot 2^0 + B cdot 3^0 + 2 cdot 0 + 4 = A + B + 4 = 0
Ou seja:
A + B = -4 (Equação 1) çã
  1. Para n = 1:
a1 = A cdot 2^1 + B cdot 3^1 + 2 cdot 1 + 4 = 2A + 3B + 2 + 4 = 2A + 3B + 6 = 1
Simplificando:
2A + 3B = -5 (Equação 2) çã

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
A + B = -4 2A + 3B = -5
Multiplicando a Equação 1 por 2:
2A + 2B = -8
Subtraindo da Equação 2:
(2A + 3B) - (2A + 2B) = -5 - (-8) implies B = 3
Agora, substituindo B = 3 na Equação 1:
A + 3 = -4 implies A = -7

Resposta

A solução da relação de recorrência é:
an = -7 cdot 2^,n + 3 cdot 3^,n + 2n + 4

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