Sendo
um Campo com derivadas parciais segundas contínuas, provar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para um campo vetorial
com derivadas parciais segundas contínuas, a integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
fechada é igual a zero. Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, especificamente com o Teorema de Stokes. Vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o teorema para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial
. O rotacional, denotado por
ou
, mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Matematicamente, em coordenadas cartesianas, é dado por:
Passo 3
Agora, o Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de
sobre
com a integral de linha de
ao longo da fronteira de
. A formulação do teorema é:
Aqui,
é o vetor normal à superfície
, e
é a fronteira de
.
Passo 4
No nosso caso, a superfície
é fechada, o que significa que não tem fronteira (
). Quando aplicamos o Teorema de Stokes a uma superfície fechada, a integral de linha ao longo da fronteira é zero porque não há fronteira.
Então, temos:
Passo 5
Portanto, concluímos que a integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície fechada
é igual a zero:
Resposta
A integral de superfície do rotacional de
sobre a superfície fechada
é igual a zero: