Sendo F um Campo com derivadas parciais segundas contínuas, provar que integral duplaS(rot F). n d S=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para um campo vetorial com derivadas parciais segundas contínuas, a integral de superfície do rotacional de sobre uma superfície fechada é igual a zero. Aqui, estamos lidando com Cálculo Vetorial, especificamente com o Teorema de Stokes. Vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o teorema para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) . O rotacional, denotado por ou , mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Matematicamente, em coordenadas cartesianas, é dado por:

Passo 3

Agora, o Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr sobre com a integral de linha de ao longo da fronteira de . A formulação do teorema é:
Aqui, é o vetor normal à superfície , e é a fronteira de .

Passo 4

No nosso caso, a superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr = 0 é fechada, o que significa que não tem fronteira ( ). Quando aplicamos o Teorema de Stokes a uma superfície fechada, a integral de linha ao longo da fronteira é zero porque não há fronteira.
Então, temos:

Passo 5

Portanto, concluímos que a integral de superfície do rotacional de integral duplaS (rot F) cdot n , dS = 0 sobre uma superfície fechada é igual a zero:

Resposta

A integral de superfície do rotacional de integral duplaS (rot F) cdot n , dS = 0 sobre a superfície fechada é igual a zero:

Exercícios relacionados