Usando o teorema da Divergência, calcular o fluxo de F através de S
S é o gráfico de
S é o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
definida por
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto. Matematicamente, para um campo
, a divergência é:
No nosso caso,
,
e
. Então,
Calculando cada derivada parcial:
Portanto,
Passo 3
Agora que sabemos que a divergência de
é zero, o Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de
através da superfície
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
:
Mas já vimos que
, então a integral de volume será:
Passo 4
Como a integral da divergência é zero, não precisamos nos preocupar em calcular o volume ou usar coordenadas específicas. O resultado já é direto pela propriedade da divergência ser nula em todo o volume.
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a zero.