Usando o teorema da Divergência, calcular o fluxo de F através de S
F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k
S é o gráfico de x^23+y^2 / 3+z^2 / 3=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície definida por . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z . A divergência é uma operação que nos dá uma medida de quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em cada ponto. Matematicamente, para um campo nabla cdot F = partial (yz)partial x + partial (xz)partial y + partial (xy)partial z , a divergência é:
partial (yz)partial x = 0 (pois yz não depende de x)
No nosso caso, partial (xz)partial y = 0 (pois xz não depende de y) , partial (xy)partial z = 0 (pois xy não depende de z) e nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0 . Então,
Calculando cada derivada parcial:
ã
ã
ã
Portanto,

Passo 3

Agora que sabemos que a divergência de integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F), dV é zero, o Teorema da Divergência nos diz que o fluxo de integral triplaV 0, dV = 0 através da superfície é igual à integral da divergência de sobre o volume limitado por :
Mas já vimos que , então a integral de volume será:

Passo 4

Como a integral da divergência é zero, não precisamos nos preocupar em calcular o volume ou usar coordenadas específicas. O resultado já é direto pela propriedade da divergência ser nula em todo o volume.

Resposta

O fluxo de através de é igual a zero.

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