Determine o valor de L para que as seguintes funções sejam contínuas nos pontos dados:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{e^{x}-1}{x} & \text { se } x \neq 0 \\\ L^{x} & \text { se } x=0\end{array} \quad\right. no ponto 0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \frac{e^{x}-1}{x},&x\neq0,\\\ L^{x},&x=0, \end{cases}
e pede que ela seja contínua em x=0. Para isso precisamos que
\lim_{x\to0}f(x)=f(0).

Passo 2

Calculamos o limite lateral, mas como \frac{e^{x}-1}{x} é contínua em 0 por definição de derivada de e^{x}, temos
\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1.

Passo 3

O valor de f em 0 é
f(0)=L^{0}.
Sabemos que, para qualquer base L>0, L^{0}=1. Logo
f(0)=1.

Passo 4

Para garantir continuidade em 0 precisamos
\lim_{x\to0}f(x)=1=f(0).
Como já obtivemos \lim_{x\to0}f(x)=1 e f(0)=1 para toda L>0, não há outra condição sobre L.

Resposta

A função é contínua em 0 para todo L>0.

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