Sendo f(x)=\arctan \left(\frac{1}{x-2}\right) se x \neq 2, é possível escolher o valor de f(2) tal que a função f seja contínua em x=2 ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\arctan\Bigl(\tfrac{1}{x-2}\Bigr)\quad (x\neq2)
e pergunta se existe algum valor de f(2) que torne f contínua em x=2. Para isso, precisamos que
\lim_{x\to2}f(x)
exista (iguais pelas duas bordas) e que possamos igualar esse limite a f(2).

Passo 2

Calculemos o limite pela direita:
\lim_{x\to2^+}\arctan\Bigl(\tfrac{1}{x-2}\Bigr).
Quando x\to2^+, temos x-2\to0^+ e, portanto, 1/(x-2)\to+\infty. Como
\arctan(+\infty)=\tfrac{\pi}{2},
segue que
\lim_{x\to2^+}f(x)=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Calculemos o limite pela esquerda:
\lim_{x\to2^-}\arctan\Bigl(\tfrac{1}{x-2}\Bigr).
Agora x\to2^- implica x-2\to0^- e 1/(x-2)\to-\infty. Então
\arctan(-\infty)=-\tfrac{\pi}{2},
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\lim_{x\to2^-}f(x)=-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Como
\lim_{x\to2^-}f(x)=-\tfrac{\pi}{2}\neq\tfrac{\pi}{2}=\lim_{x\to2^+}f(x),
o limite bilateral \lim_{x\to2}f(x) não existe. Consequentemente, não há como definir f(2) para tornar f contínua em x=2.

Resposta

Não é possível escolher f(2) de forma que f seja contínua em x=2.

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