Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas:
f(x)=\arctan \left(\frac{\operatorname{sen}(x)+\cos (x)}{x^{4}+x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar onde a função
f(x) = \arctan\!\biggl(\frac{\sin(x)+\cos(x)}{x^4 + x^2 + 1}\biggr)
é contínua. Vamos usar que soma, produtos, quocientes (onde o denominador não zera) e composições de funções contínuas são contínuas, além de que \arctan é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 2

Determinar o domínio de f. Precisamos que o denominador
x^4 + x^2 + 1
não seja zero. Note que x^4\ge0, x^2\ge0 e então
x^4 + x^2 + 1 \ge 1 > 0
para todo x\in\mathbb{R}. Logo, não há restrição: o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Analisar a continuidade do numerador e do denominador. As funções \sin(x), \cos(x) e o polinômio x^4 + x^2 + 1 são contínuos em \mathbb{R}. Como o denominador nunca zera, o quociente
g(x)=\frac{\sin(x)+\cos(x)}{x^4 + x^2 + 1}
é contínuo para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 4

A função \arctan(u) é contínua em todo u\in\mathbb{R}. Como g(x) varia em \mathbb{R} e nunca sai desse conjunto, a composição \arctan\circ g mantém a continuidade em todos os pontos do domínio.

Passo 5

Concluímos que f(x)=\arctan\bigl(g(x)\bigr) é contínua em todo ponto do domínio, que é \mathbb{R}.

Resposta

A função f é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

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