Sendo f(x)=(xcos x)^x, calcule:
f^prime(x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(xcos xr)^x
Esse tipo de função, onde a base e o expoente dependem de x, é tratado mais facilmente usando a reescrita
f(x)=expl(xln(x/cos x)r)
Vamos aplicar derivação de funções compostas e regras de produto e cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=expl(E(x)r), E(x)=xlnl(x/cos xr)
Então
f'(x)=f(x),E'(x)
pela regra da derivada de exp.

Passo 3

Calculamos
E'(x) =ddxl[xln(x/cos x)r] =ln!l(x/cos xr) + xcdotddxl[ln(x/cos x)r]
Aqui usamos a regra do produto.

Passo 4

Para a derivada do logaritmo,
ddxl[ln(x/cos x)r] =1x/cos x,ddxl(xcos xr)
E
ddxl(xcos xr) =cos x + xsin xcos^2 x
Logo,
1x/cos x,cos x + xsin xcos^2 x =cos x + xsin xxcos x =1x+tan x
Substituindo em E'(x),
E'(x) =ln!l(xcos xr) + xl(1x+tan xr) =ln!l(xcos xr)+1+xtan x

Passo 5

Voltando a f'(x)=f(x),E'(x),
f'(x) =l(xcos xr)^x l[ln!l(xcos xr)+1+xtan xr]

Resposta

f'(x) =l(tfracxcos xr)^xl[ln!l(tfracxcos xr)+1+xtan xr]

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