Sendo f(x)=xx+3, x neq-3 e g(x)=2 x+3, funções reais, então determine f^-1[g^-1(x)].

Passo 1

Resumo: temos as funções f(x)=xx+3 (com xneq-3) e g(x)=2x+3. O objetivo é calcular f^-1(g^-1(x)). Vamos usar conceitos de inversão de funções e composição.

Passo 2

Primeiro vamos achar g^-1(x). Definindo y=g(x)=2x+3, invertemos:
y=2x+3 Rightarrow x=y-32
Portanto g^-1(x)=x-32.

Passo 3

Agora achamos f^-1(x). Começamos de y=f(x)=xx+3. Invertendo:
y=xx+3 Rightarrow y(x+3)=x Rightarrow yx+3y=x Rightarrow x(1-y)=3y Rightarrow x=3y1-y
Logo f^-1(x)=3x1-x (com xneq1).

Passo 4

Agora fazemos a composição f^-1(g^-1(x)): substituímos g^-1(x) em f^-1(cdot):
f^-1l(g^-1(x)r)=3l(x-32r)1-l(x-32r)

Passo 5

Simplificando a expressão:
3,(x-3)/2l(2-(x-3)r)/2=3(x-3)2cdot25-x=3(x-3)5-x
Condição de existência: evitamos x=5 pois nesse caso g^-1(x)=1 e f^-1(1) não está definida.

Passo 6

Portanto, a expressão final é f^-1(g^-1(x)) = 3(x-3)5-x, com x neq 5.

Resposta

f^-1(g^-1(x))=dfrac3(x-3)5-x, xneq5

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