Use as regras de derivação para derivar cada função.
f(x)=x arccos (3 x)=x cos ^-1(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = x,arccosl(3xr)
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia, além da fórmula da derivada de arccos(u).

Passo 2

Aplique a regra do produto. Definimos
u(x) = x, v(x) = arccosl(3xr)
Então
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)

Passo 3

Calcule u'(x). Como u(x)=x, temos
u'(x) = 1

Passo 4

Calcule v'(x) usando a regra da cadeia. Primeiro, sabe-se que
ddtarccos(t) = -1raiz1 - t^2
Aqui t = 3x, logo t' = 3. Pela cadeia,
v'(x) = ddxarccosl(3xr) = -1raiz1 - (3x)^2;cdot;3 = -3raiz1 - 9x^2

Passo 5

Substituindo em
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x),
temos
f'(x) = 1cdot arccosl(3xr) + x cdotl(-3raiz1 - 9x^2r),
ou seja
f'(x) = arccosl(3xr) - 3xraiz1 - 9x^2

Resposta

f'(x)=arccosl(3xr)-3xraiz1-9x^2

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