• Questão 32. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções
    h(u)=e^2 u-e^u

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os intervalos em que a função
h(u)=e^2u-e^u
é crescente ou decrescente. Esse é um problema de monotonicidade, que resolve-se calculando a derivada primeira h'(u), encontrando seus pontos críticos e analisando o sinal de h'(u) em cada intervalo.

Passo 2

Calculemos a derivada de h(u). Usando regra da cadeia em e^2u e em e^u, temos
h'(u)=ddul(e^2ur)-ddul(e^ur) =2e^2u-e^u

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
h'(u)=0 Longrightarrow 2e^2u-e^u=0
Fatorando e^u,
h'(u)=e^ul(2e^u-1r)=0
Como e^u>0 para todo u, a única solução vem de
2e^u-1=0 Longrightarrow e^u=tfrac12 Longrightarrow u=ln!l(tfrac12r)=-ln2

Passo 4

Analisando o sinal de h'(u)=e^u(2e^u-1) nos intervalos
-infty<u<-ln 2 e -ln 2<u<infty:
  • Se u<-ln 2, então e^u<tfrac12 e 2e^u-1<0. Logo h'(u)<0.
  • Se u>-ln 2, então e^u>tfrac12 e 2e^u-1>0. Logo h'(u)>0.

Passo 5

Como h'(u)<0 em (-infty,-ln2), h é decrescente ali. Como h'(u)>0 em (-ln2,infty), h é crescente ali.

Resposta

h é decrescente em (-infty,-ln2) e crescente em (-ln2,infty).

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