Sendo v=\frac{d x}{d t} determine a relação entre v e x.
\ddot{x}-x^{3} \dot{x}+x^{3}=0

Passo 1

O enunciado fornece a função x(t) cujo derivada primeira é v=\dfrac{d x}{d t} e pede para determinar uma relação entre v e x. A equação diferencial dada é
\ddot{x}-x^{3}\dot{x}+x^{3}=0.
Informações relevantes:
  • Definição: v=\dfrac{d x}{d t}.
  • A equação envolve \ddot{x}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}, \dot{x}=\dfrac{d x}{d t} e potências de x.
  • O objetivo é eliminar t e obter uma relação entre v e x (isto é, uma equação envolvendo somente v e x, possivelmente implícita).

Passo 2

Primeira transformação: expressar \ddot{x} em termos de v e x. Quando v=\dfrac{dx}{dt}, podemos usar a regra da cadeia para escrever \ddot{x} como derivada de v em relação a t. A conta é:
\ddot{x} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)=\frac{dv}{dt}.
Mas queremos uma equação em v e x, sem t. Aplicamos a regra da cadeia \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}. Como \dfrac{dx}{dt}=v, obtemos a identidade útil
\ddot{x} = \frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{dx}.
Esta é uma técnica padrão para reduzir a ordem quando a incógnita é x(t) e queremos relação entre v e x.

Passo 3

Substituo \ddot{x}=v\dfrac{dv}{dx} e \dot{x}=v na equação dada. Assim,
v\frac{dv}{dx} - x^{3}v + x^{3} = 0.
Rearranjando, passo o termo contendo a derivada para um lado:
v\frac{dv}{dx} = x^{3}(v-1).
Agora temos uma equação de primeira ordem relacionando v e x. O próximo passo é separar variáveis para integrar.

Passo 4

Transformo a equação para evidenciar a separação de variáveis. Divido ambos os lados por v-1 e por v de forma apropriada (atenção: v=0 ou v=1 merecem consideração separada que veremos depois). A equação pode ser escrita como
\frac{dv}{dx} = x^{3}\frac{v-1}{v}.
Multiplico ambos os lados por \dfrac{v}{v-1} e por dx para separar:
\frac{v}{v-1}\,dv = x^{3}\,dx.
Agora integra-se cada lado. Antes de integrar, faço uma simplificação algébrica do integrando do lado esquerdo:
\frac{v}{v-1} = 1 + \frac{1}{v-1},
pois \dfrac{v}{v-1} = \dfrac{(v-1)+1}{v-1} = 1 + \dfrac{1}{v-1}. Isso facilita a integral.

Passo 5

Faço as integrais explicitamente:
\int \left(1 + \frac{1}{v-1}\right)\,dv = \int x^{3}\,dx.
Calculo cada integral:
  • \displaystyle \int 1\,dv = v.
  • \displaystyle \int \frac{1}{v-1}\,dv = \ln|v-1| (recorde que \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u|).
  • \displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Somando os resultados e adicionando a constante de integração \,C, obtenho a relação implícita
v + \ln|v-1| = \frac{x^{4}}{4} + C.
Isto é uma relação entre v e x que contém a constante arbitrária C determinada por condições iniciais, se houver.

Passo 6

Discussão sobre soluções singulares e domínio:
  • A integração acima pressupôs divisão por v e por v-1; portanto devemos checar casos especiais:
    • v\equiv 1: se v=1 em todo intervalo, então \dot{x}=1 e x(t)=t+const. Substituindo na equação original dá 0-x^{3}\cdot 1 + x^{3}=0, que é verdadeiro. Logo v\equiv 1 é uma solução singular (não aparece na forma implícita porque aí \ln|v-1| seria \ln 0).
    • v\equiv 0: se v=0 constante, então \dot{x}=0 implica x constante. Substituindo na equação original exige x^{3}=0, logo x=0. Assim v\equiv 0 só ocorre juntamente com x\equiv 0, é um caso trivial e consistente apenas para x\equiv 0.
  • A relação implícita v + \ln|v-1| = \dfrac{x^{4}}{4} + C descreve as soluções gerais (exceto a solução singular v\equiv 1). O logarítmo exige v\neq 1; o sinal absoluto permite v<1 ou v>1, ficando a constante C que ajusta a curva nível conforme condição inicial.

Resposta

v + \ln|v-1| = \dfrac{x^{4}}{4} + C\n
Solução singular: v \equiv 1

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