Sendo
determine a relação entre v e x.
Passo 1
O enunciado fornece a função
cujo derivada primeira é
e pede para determinar uma relação entre
e
. A equação diferencial dada é
Informações relevantes:
- Definição:
. - A equação envolve
, e potências de . - O objetivo é eliminar
e obter uma relação entre e (isto é, uma equação envolvendo somente e , possivelmente implícita).
Passo 2
Primeira transformação: expressar
em termos de
e
. Quando
, podemos usar a regra da cadeia para escrever
como derivada de
em relação a
. A conta é:
Mas queremos uma equação em
e
, sem
. Aplicamos a regra da cadeia
. Como
, obtemos a identidade útil
Esta é uma técnica padrão para reduzir a ordem quando a incógnita é
e queremos relação entre
e
.
Passo 3
Substituo
e
na equação dada. Assim,
Rearranjando, passo o termo contendo a derivada para um lado:
Agora temos uma equação de primeira ordem relacionando
e
. O próximo passo é separar variáveis para integrar.
Passo 4
Transformo a equação para evidenciar a separação de variáveis. Divido ambos os lados por
e por
de forma apropriada (atenção:
ou
merecem consideração separada que veremos depois). A equação pode ser escrita como
Multiplico ambos os lados por
e por
para separar:
Agora integra-se cada lado. Antes de integrar, faço uma simplificação algébrica do integrando do lado esquerdo:
pois
. Isso facilita a integral.
Passo 5
Faço as integrais explicitamente:
Calculo cada integral:
-
. -
(recorde que ). -
.
Somando os resultados e adicionando a constante de integração
, obtenho a relação implícita
Isto é uma relação entre
e
que contém a constante arbitrária
determinada por condições iniciais, se houver.
Passo 6
Discussão sobre soluções singulares e domínio:
- A integração acima pressupôs divisão por
e por ; portanto devemos checar casos especiais: -
: se em todo intervalo, então e const. Substituindo na equação original dá , que é verdadeiro. Logo é uma solução singular (não aparece na forma implícita porque aí seria ). -
: se constante, então implica constante. Substituindo na equação original exige , logo . Assim só ocorre juntamente com , é um caso trivial e consistente apenas para .
-
- A relação implícita
descreve as soluções gerais (exceto a solução singular ). O logarítmo exige ; o sinal absoluto permite ou , ficando a constante que ajusta a curva nível conforme condição inicial.
Resposta
Solução singular: