Considere a série
1-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{4}-\frac{1}{4}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}+\cdots
Observe que essa série tem termos alternativamente positivos e negativos. Encontre uma fórmula para seu termo geral e verifique que este tende para zero. Entretanto, mostre que a série é divergente. Porque isto não contradiz o Teorema de Leibniz?

Passo 1

O enunciado dá a série
1-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{4}-\frac{1}{4}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}+\cdots
e pede três coisas: (i) encontrar uma fórmula para o termo geral dessa sequência de termos; (ii) verificar que esse termo geral tende a zero quando n\to\infty; (iii) mostrar que a série (a soma infinita desses termos) é divergente; além disso, explicar por que isso não contradiz o Teorema de Leibniz.
Informações relevantes dadas diretamente pelo enunciado: os termos aparecem em pares com sinais alternados, e os denominadores parecem ser 2,3,3,4,4,5,5,6,6,\dots conforme escrito.

Passo 2

Vamos identificar o padrão por blocos de dois termos (pares). Observando:
\underbrace{1}_{\text{primeiro}}-\underbrace{\frac{1}{2}}_{\text{segundo}}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2},
\underbrace{\frac{2}{3}}_{\text{terceiro}}-\underbrace{\frac{1}{3}}_{\text{quarto}}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3},
\underbrace{\frac{2}{4}}_{\text{quinto}}-\underbrace{\frac{1}{4}}_{\text{sexto}}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4},
e assim por diante. Cada par corresponde a um mesmo denominador k+1 quando indexamos os pares por k=1,2,3,\dots. Então faz sentido parametrizar por pares: para cada k\ge1 temos os dois termos
\frac{2}{k+1}\quad\text{e}\quad -\frac{1}{k+1}.

Passo 3

Agora expressamos o termo geral a_n em função do índice n. Como os termos vêm em pares, se n é ímpar escrevemos n=2k-1; se n é par escrevemos n=2k. Assim, para k\ge1:
\text{se } n=2k-1,\quad a_n=\frac{2}{k+1},
\text{se } n=2k,\quad a_n=-\frac{1}{k+1}.
Essa é a fórmula do termo geral em forma peça-a-peça. (Podemos verificar: para k=1 obtemos a_1=2/2=1 e a_2=-1/2; para k=2 obtemos a_3=2/3 e a_4=-1/3, etc., que coincide com a série dada.)

Passo 4

Vamos verificar que a_n\to0 quando n\to\infty. Analisamos as duas subsequências:
a_{2k-1}=\frac{2}{k+1}\xrightarrow{k\to\infty}0,
a_{2k}=-\frac{1}{k+1}\xrightarrow{k\to\infty}0.
Como ambas as subsequências (ímpares e pares) tendem a zero, segue que \lim_{n\to\infty}a_n=0. Portanto o termo geral tende a zero, como exigido.

Passo 5

Para estudar a soma, é natural agrupar a série por pares (cada par tem denominador igual). Somando cada par obtemos, para k\ge1,
s_k:=a_{2k-1}+a_{2k}=\frac{2}{k+1}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k+1}.
Logo a série original se reescreve (por agrupamento natural em pares) como
\sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{k=1}^\infty s_k=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}.

Passo 6

A série \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1} é apenas a série harmônica deslocada: escrevendo m=k+1 obtemos
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1}=\sum_{m=2}^\infty \frac{1}{m}.
Sabemos que a série harmônica \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m} diverge, portanto a soma a partir de m=2 também diverge. Logo \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k+1} diverge, e assim a série original diverge. Para ver de forma explícita com somas parciais, as somas parciais pares ficam
S_{2N}=\sum_{n=1}^{2N} a_n=\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k+1}=H_{N+1}-1,
onde H_{N+1} é o (N+1)-ésimo número harmônico; como H_{N+1}\to\infty quando N\to\infty, segue S_{2N}\to\infty. Assim a série diverge (tende a +\infty).

Passo 7

Comentário adicional (útil para a prova): a série não converge absolutamente, porque a soma dos módulos, agrupando por pares, dá
\sum_{n=1}^\infty |a_n|=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{2}{k+1}+\frac{1}{k+1}\right)=\sum_{k=1}^\infty\frac{3}{k+1}=3\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k+1},
que também diverge. Então não há convergência absoluta.

Passo 8

Por que isso não contradiz o Teorema de Leibniz (teste da série alternante)? Vamos recordar a hipótese essencial do Teorema de Leibniz em palavras simples: se os termos de uma série alternante têm sinais alternados, seu módulo tende a zero e a sequência dos módulos é monótona decrescente a partir de algum ponto, então a série converge. No nosso caso, embora os termos alternem de sinal e tendam a zero, a condição de monotonicidade dos módulos falha: por exemplo
|a_2|=\frac{1}{2},\qquad |a_3|=\frac{2}{3},
e |a_3|>\!|a_2|. Ou seja, os módulos não formam uma sequência monotonicamente decrescente; eles oscilam por causa do padrão 2/(k+1),\,1/(k+1). Assim não se pode aplicar o Teorema de Leibniz, logo não há contradição ao obtermos divergência.

Resposta

Para n=2k-1 (ímpares): a_n=\dfrac{2}{k+1}.
Para n=2k (pares): a_n=-\dfrac{1}{k+1}.
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=0.
A série diverge, pois agrupando por pares reduz-se a \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k+1}, que é divergente (harmônica deslocada).
Não contradiz o Teorema de Leibniz porque a hipótese de monotonicidade dos módulos |a_n| falha (por exemplo |a_3|=2/3>|a_2|=1/2), logo o critério de Leibniz não se aplica.

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