Sendo
uma das quatro raízes complexas de um número
, determinar as quatro raízes complexas de
. Represente geometricamente essas raízes.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar todas as raízes complexas desse polinômio de grau 7 e representá-las geometricamente. Vamos usar fatoração por agrupamento e representação em forma polar.
Passo 2
Agrupamos termos de forma a evidenciar um fator comum:
Logo surge o fator comum
, de modo que
Passo 3
Resolvemos cada fator separadamente:
1.
é equivalente a
logo produz a raiz dupla
2.
equivale a
Escrevendo
em forma polar:
. As raízes quintas são
Passo 4
Listamos explicitamente essas cinco raízes de
:
isto é,
Passo 5
Geometricamente, temos:
– Uma raiz dupla em
, ponto
no plano.
– Cinco raízes igualmente espaçadas num círculo de raio com argumentos
. O ponto
corresponde a
.
– Cinco raízes igualmente espaçadas num círculo de raio
Resposta
As sete raízes (contando multiplicidade) são:
(multiplicidade 2),