Sendo z_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) uma das quatro raízes complexas de um número z, determinar as quatro raízes complexas de z. Represente geometricamente essas raízes.
(d) z^{7}-4 z^{6}+4 z^{5}+32 z^{2}-128 z+128=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
z^{7}-4z^{6}+4z^{5}+32z^{2}-128z+128=0,
ou seja, encontrar todas as raízes complexas desse polinômio de grau 7 e representá-las geometricamente. Vamos usar fatoração por agrupamento e representação em forma polar.

Passo 2

Agrupamos termos de forma a evidenciar um fator comum:
z^{7}-4z^{6}+4z^{5}+32z^{2}-128z+128 = z^{5}(z^{2}-4z+4)+32\,(z^{2}-4z+4).
Logo surge o fator comum (z^{2}-4z+4), de modo que
z^{7}-4z^{6}+4z^{5}+32z^{2}-128z+128 =(z^{2}-4z+4)\,(z^{5}+32).

Passo 3

Resolvemos cada fator separadamente:
1. z^{2}-4z+4=0 é equivalente a
(z-2)^{2}=0,
logo produz a raiz dupla z=2. 2. z^{5}+32=0 equivale a
z^{5}=-32.
Escrevendo -32 em forma polar: -32=32\,e^{i\pi}. As raízes quintas são
z_{k}=2\,\exp\!\Bigl(i\,\frac{\pi+2\pi k}{5}\Bigr), \quad k=0,1,2,3,4.

Passo 4

Listamos explicitamente essas cinco raízes de z^{5}=-32:
z_{k}=2\cis\!\bigl(\tfrac{\pi+2\pi k}{5}\bigr), \quad k=0,1,2,3,4,
isto é,
2\cis\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr),\; 2\cis\bigl(\tfrac{3\pi}{5}\bigr),\; 2\cis\bigl(\pi\bigr),\; 2\cis\bigl(\tfrac{7\pi}{5}\bigr),\; 2\cis\bigl(\tfrac{9\pi}{5}\bigr).

Passo 5

Geometricamente, temos:
– Uma raiz dupla em z=2, ponto (2,0) no plano.
– Cinco raízes igualmente espaçadas num círculo de raio 2 com argumentos \tfrac{\pi}{5},\tfrac{3\pi}{5},\pi,\tfrac{7\pi}{5},\tfrac{9\pi}{5}. O ponto \pi corresponde a -2.

Resposta

As sete raízes (contando multiplicidade) são: z=2 (multiplicidade 2), z=2\cis\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr),\; z=2\cis\bigl(\tfrac{3\pi}{5}\bigr),\; z=2\cis(\pi),\; z=2\cis\bigl(\tfrac{7\pi}{5}\bigr),\; z=2\cis\bigl(\tfrac{9\pi}{5}\bigr).

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