Mostre que a função
dada por
é contínua em
. [Dica: Considere
.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em todo ponto
.
Para isso, vamos usar a definição de continuidade via limites: precisamos provar que
Para isso, vamos usar a definição de continuidade via limites: precisamos provar que
ou seja, dado
, existe
tal que
O truque é obter uma desigualdade da forma
Passo 2
Vamos provar a desigualdade
Começamos por observar que
Como
lvert xrvert+lvert arvert>0 , dividindo ambos os lados obtemos
Trocando
x por
a e invertendo o sinal, segue também
Desses dois resultados decorre
Passo 3
Agora aplicamos a definição de continuidade em
a . Dado
varepsilon>0 , escolha
de<a = varepsilon . Se
lvert x-arvert<de<a , então
Logo, pela definição de limite,
limxtoaf(x)=f(a) .
Resposta
A função
f(x)=lvertxrvert é contínua em todo
R^n .