Mostre que a função f dada por f(x)=|x| é contínua em R^n. [Dica: Considere |x-a|^2=(x-a) cdot(x-a).]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon R^n to R, f(x) = lvert xrvert
é contínua em todo ponto ainR^n.
Para isso, vamos usar a definição de continuidade via limites: precisamos provar que
limxtoaf(x) = f(a),
ou seja, dado varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-a|<de<a Longrightarrow llvert f(x) - f(a)rrvert < varepsilon
O truque é obter uma desigualdade da forma
llvert,lvert xrvert - lvert arvert,rrvert <= lvert x-arvert

Passo 2

Vamos provar a desigualdade
llvert,lvert xrvert - lvert arvert,rrvert <= lvert x-arvert
Começamos por observar que
lvert xrvert^2 - lvert arvert^2 = xcdotx ;-;acdota = (x-a)cdot(x+a) <= lvert x-arvert;lvert x+arvert = lvert x-arvertl(lvert xrvert+lvert arvertr)
Como lvert xrvert+lvert arvert>0, dividindo ambos os lados obtemos
lvert xrvert - lvert arvert <= lvert x-arvert
Trocando x por a e invertendo o sinal, segue também
lvert arvert - lvert xrvert <= lvert x-arvert
Desses dois resultados decorre
llvert,lvert xrvert - lvert arvert,rrvert <= lvert x-arvert

Passo 3

Agora aplicamos a definição de continuidade em a. Dado varepsilon>0, escolha
de<a = varepsilon. Se lvert x-arvert<de<a, então
llvert f(x) - f(a)rrvert = llvert,lvert xrvert - lvert arvert,rrvert <= lvert x-arvert < de<a = varepsilon
Logo, pela definição de limite, limxtoaf(x)=f(a).

Resposta

A função f(x)=lvertxrvert é contínua em todo R^n.

Exercícios relacionados