Mostre que a função dada por é contínua em . [Dica: Considere .]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em todo ponto .
Para isso, vamos usar a definição de continuidade via limites: precisamos provar que
ou seja, dado , existe tal que
O truque é obter uma desigualdade da forma

Passo 2

Vamos provar a desigualdade
Começamos por observar que
Como , dividindo ambos os lados obtemos
Trocando por e invertendo o sinal, segue também
Desses dois resultados decorre

Passo 3

Agora aplicamos a definição de continuidade em . Dado , escolha
. Se , então
Logo, pela definição de limite, .

Resposta

A função é contínua em todo .

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