Mostre que a função
dada por
é contínua em
. [Dica: Considere
.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é contínua em todo ponto
.
Para isso, vamos usar a definição de continuidade via limites: precisamos provar que
Para isso, vamos usar a definição de continuidade via limites: precisamos provar que
ou seja, dado
, existe
tal que
O truque é obter uma desigualdade da forma
Passo 2
Vamos provar a desigualdade
Começamos por observar que
Como
, dividindo ambos os lados obtemos
Trocando
por
e invertendo o sinal, segue também
Desses dois resultados decorre
Passo 3
Agora aplicamos a definição de continuidade em
. Dado
, escolha
. Se
, então
Logo, pela definição de limite,
.
Resposta
A função
é contínua em todo
.