(UF-AM) Sendo A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -5 & 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 6 & 3 & 0 & 2 & 1 \\\\ 9 & 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 & 1 & 0\end{array}\right) uma matriz real, então \operatorname{det} A é:
(a) -3
(b) 3
(c) 10
(d) -10
(e) 24

Passo 1

O enunciado pide calcular o determinante da matriz real
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -5 & 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 6 & 3 & 0 & 2 & 1 \\\\ 9 & 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
O método empregado será a expansão por cofactores (Laplace), aproveitando que na primeira linha só o primeiro elemento é non zero.

Passo 2

Expandimos \det A ao longo da primeira fila. Como \,a_{11}=1 e ese é o único elemento non zero da fila 1, temos
\det A = 1 \cdot C_{11} \quad\text{onde}\quad C_{11} = (-1)^{1+1}\det M = \det M
e M é o menor de A que se obtén eliminando a fila 1 e a columna 1:
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 3 & 0 & 2 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ -1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \det M, observamos que a segunda columna de M é (1,0,0,0)^T. Expandimos \det M por esa columna:
\det M = (-1)^{1+2}\cdot 1 \cdot \det N = -\det N,
onde N é o menor de M que se obtén eliminando a fila 1 e a columna 2 de M:
N = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos \det N por regra de Sarrus ou expansión na primeira fila:
\det N = 3\begin{vmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & 0\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}1 & 0 \\\\ -1 & 0\end{vmatrix} +1\begin{vmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{vmatrix} = 3\,(2\cdot0-0\cdot1)\;-\;2\,(1\cdot0-0\cdot(-1))\;+\;(1\cdot1-2\cdot(-1)) = 0-0+3 = 3.

Passo 5

Volvendo a \det M, temos \det M = -\det N = -3. E finalmente
\det A = \det M = -3.

Resposta

(a) -3

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