(ITA-SP) Sejam
. Mostre as propriedades abaixo:
(a) Se
é a matriz coluna nula, para todo
, então
é a matriz nula.
(b) Se
e
são não nulas e tais que
é a matriz nula, então
.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
Nesse exercício, temos matrizes
. No item (a) queremos mostrar que se
para todo
(coluna), então
deve ser a matriz nula. No item (b), se
e
são não nulas e satisfazem
, então precisamos provar
. Vamos usar conceitos de colunas de matriz e determinantes de produto.
Passo 2
Para o item (a), note que cada coluna de
é
, onde
são os vetores da base canônica de
. Se
para todo
, em particular
para
. Logo todas as colunas de
são nulas, o que implica
é a matriz nula.
Passo 3
No item (b), usamos a propriedade do determinante de produto:
Como
é a matriz nula, temos
portanto
Passo 4
Da igualdade
sabemos que pelo menos um dos determinantes é zero. Para ver que ambos devem ser zero, arguimos por contradição: se
, então
é invertível e multiplicar
por
dá
, contradizendo que
é não nula. Logo
. Analogamente, se
então
seria invertível e
levaria a
, o que é impossível. Logo
.
Resposta
(a)
é a matriz nula.
(b) e
.
(b)