(ITA-SP) Sejam A, B \in M_{3 \times 3}(\mathbb{R}). Mostre as propriedades abaixo:
(a) Se A X é a matriz coluna nula, para todo X \in M_{3 \times 1}(\mathbb{R}), então A é a matriz nula.
(b) Se A e B são não nulas e tais que A B é a matriz nula, então \operatorname{det} A=\operatorname{det} B=0.

Passo 1

Nesse exercício, temos matrizes A,B\in M_{3\times3}(\mathbb{R}). No item (a) queremos mostrar que se A X=0 para todo X\in\mathbb{R}^3 (coluna), então A deve ser a matriz nula. No item (b), se A e B são não nulas e satisfazem AB=0, então precisamos provar \det A=\det B=0. Vamos usar conceitos de colunas de matriz e determinantes de produto.

Passo 2

Para o item (a), note que cada coluna de A é A e_i, onde e_i são os vetores da base canônica de \mathbb{R}^3. Se A X=0 para todo X, em particular A e_i=0 para i=1,2,3. Logo todas as colunas de A são nulas, o que implica A é a matriz nula.

Passo 3

No item (b), usamos a propriedade do determinante de produto:
\det(AB)=\det A\;\det B.
Como AB é a matriz nula, temos
\det(AB)=\det(0)=0,
portanto
\det A\;\det B=0.

Passo 4

Da igualdade \det A\,\det B=0 sabemos que pelo menos um dos determinantes é zero. Para ver que ambos devem ser zero, arguimos por contradição: se \det A\neq0, então A é invertível e multiplicar AB=0 por A^{-1} B=0, contradizendo que B é não nula. Logo \det A=0. Analogamente, se \det B\neq0 então B seria invertível e AB=0 levaria a A=0, o que é impossível. Logo \det B=0.

Resposta

(a) A é a matriz nula.
(b) \det A=0 e \det B=0.

Exercícios relacionados