Sendo: A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right], determine a matriz X nos seguintes casos:
(A+X) B=A

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix}
e pede X tal que
(A + X)\,B = A.
O conteúdo aqui é álgebra de matrizes, em particular resolução de equação matricial usando a inversa de B.

Passo 2

Primeiro verifiquemos que B é invertível, calculando o determinante:
\det(B) = 1\cdot 3 - (2)(-1) = 3 + 2 = 5 \neq 0.
Logo B^{-1} existe e vale
B^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

A equação (A + X)\,B = A pode ser rearranjada multiplicando à direita por B^{-1}:
A + X = A\,B^{-1} \quad\Longrightarrow\quad X = A\,B^{-1} - A.

Passo 4

Calculemos A\,B^{-1}:
A\,B^{-1} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2\cdot3 + (-1)\cdot1 & 2\cdot(-2) + (-1)\cdot1 \\[6pt] 3\cdot3 + 4\cdot1 & 3\cdot(-2) + 4\cdot1\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}5 & -5 \\\\ 13 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt] \frac{13}{5} & -\frac{2}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora
X = A\,B^{-1} - A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\ \frac{13}{5} & -\frac{2}{5}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-2 & -1-(-1) \\[4pt] \frac{13}{5} -3 & -\frac{2}{5} -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[3pt] -\frac{2}{5} & -\frac{22}{5}\end{pmatrix}.]

Resposta

X = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[3pt] -\frac{2}{5} & -\frac{22}{5}\end{pmatrix}.]

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