Questão 1: Sejam \vec{V}_{1}=(1,2,-1), \vec{V}_{2}=(0,2,-1) e \vec{V}_{3}=(0,0,1) vetores de R^{3}. Esses vetores constituem uma base B=\left\{\vec{V}_{1}, \vec{V}_{2}, \vec{V}_{3}\right\} não ortogonal em relação ao produto interno usual. Determine, a partir de B, uma base B^{\prime}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\} que seja ortonormal.

Passo 1

O enunciado fornece três vetores
\vec V_{1}=(1,2,-1), \vec V_{2}=(0,2,-1) e \vec V_{3}=(0,0,1)
que formam uma base não ortogonal de \mathbb R^3. Queremos produzir uma base ortonormal
\{\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3\} a partir dela usando o processo de Gram–Schmidt com o produto interno usual.

Passo 2

Primeiro normalizamos \vec V_1. Calculamos seu comprimento e definimos
\vec u_1=\vec V_1/\|\vec V_1\|.
\|\vec V_1\| =\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{6},
\vec u_1 =\frac{\vec V_1}{\|\vec V_1\|} =\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1).

Passo 3

Agora ortogonalizamos \vec V_2 a \vec u_1 e normalizamos. Definimos
\vec w_2=\vec V_2-\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_2 e depois
\vec u_2=\vec w_2/\|\vec w_2\|.
\vec V_2\cdot\vec u_1 =\bigl(0,2,-1\bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt6}(1,2,-1) =\frac{5}{\sqrt6},
\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_2 =\bigl(\vec V_2\cdot\vec u_1\bigr)\,\vec u_1 =\frac{5}{6}(1,2,-1),
\vec w_2 =\vec V_2-\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_2 =(0,2,-1)-\frac{5}{6}(1,2,-1) =\frac{1}{6}(-5,2,-1),
\|\vec w_2\| =\sqrt{\Bigl(-\tfrac{5}{6}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{2}{6}\Bigr)^2+\Bigl(-\tfrac{1}{6}\Bigr)^2} =\sqrt{\frac{30}{36}} =\sqrt{\frac{5}{6}} \quad\Longrightarrow\quad \vec u_2 =\frac{\vec w_2}{\|\vec w_2\|} =\frac{-5,2,-1}{\sqrt{30}}.

Passo 4

Finalmente ortogonalizamos \vec V_3 a \vec u_1 e \vec u_2, e normalizamos.
\vec w_3=\vec V_3-\mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_3-\mathrm{proj}_{\vec u_2}\vec V_3,
\vec u_3=\vec w_3/\|\vec w_3\|.
\vec V_3\cdot\vec u_1 =(0,0,1)\cdot\frac{1}{\sqrt6}(1,2,-1) =-\frac{1}{\sqrt6}, \quad \mathrm{proj}_{\vec u_1}\vec V_3 =-\frac{1}{6}(1,2,-1),
\vec V_3\cdot\vec u_2 =(0,0,1)\cdot\frac{1}{\sqrt{30}}(-5,2,-1) =-\frac{1}{\sqrt{30}}, \quad \mathrm{proj}_{\vec u_2}\vec V_3 =\frac{1}{30}(5,-2,1),
\vec w_3 =(0,0,1) -\bigl(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{2}{6},\tfrac{1}{6}\bigr) -\bigl(\tfrac{1}{6},-\tfrac{2}{30},\tfrac{1}{30}\bigr) =(0,\tfrac{2}{5},\tfrac{4}{5}) =\frac{1}{5}(0,2,4),
\|\vec w_3\| =\sqrt{\frac{4+16}{25}} =\sqrt{\frac{20}{25}} =\frac{2}{\sqrt5} \quad\Longrightarrow\quad \vec u_3 =\frac{\vec w_3}{\|\vec w_3\|} =\frac{1}{\sqrt5}(0,1,2).

Resposta

\vec u_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1),\quad \vec u_{2}=\frac{1}{\sqrt{30}}(-5,2,-1),\quad \vec u_{3}=\frac{1}{\sqrt{5}}(0,1,2).

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