(13.) Encontre os autovalores de A^{\circ}, sendo
A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 3 & 7 & 11 \\\\ 0 & \frac{1}{2} & 3 & 8 \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de A^{\circ}, onde A^{\circ} é a matriz adjunta (adjugate) de A. Para resolver vamos usar dois fatos importantes:
  1. Os autovalores de A são os elementos da diagonal de uma matriz triangular.
  2. Se \lambda_{1},\dots,\lambda_{n} são os autovalores de A, então os autovalores de \mathrm{adj}(A)=A^{\circ} são
\prod_{j\neq i}\lambda_{j},
para i=1,\dots,n.

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal:
\lambda_{1}=1,\quad \lambda_{2}=\tfrac12,\quad \lambda_{3}=0,\quad \lambda_{4}=2.

Passo 3

Pelo fato citado, para cada \lambda_{i} de A o correspondente autovalor de A^{\circ} é
\mu_{i} \;=\;\prod_{j\neq i}\lambda_{j}.

Passo 4

Vamos calcular cada \mu_{i}:
\mu_{1}=\lambda_{2}\,\lambda_{3}\,\lambda_{4} =\tfrac12\cdot0\cdot2=0,
\mu_{2}=\lambda_{1}\,\lambda_{3}\,\lambda_{4} =1\cdot0\cdot2=0,
\mu_{3}=\lambda_{1}\,\lambda_{2}\,\lambda_{4} =1\cdot\tfrac12\cdot2=1,
\mu_{4}=\lambda_{1}\,\lambda_{2}\,\lambda_{3} =1\cdot\tfrac12\cdot0=0.

Resposta

Os autovalores de A^{\circ} são
0\quad(\text{multiplicidade }3) \quad\text{e}\quad 1\quad(\text{multiplicidade }1).

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