1-Sendo A=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & 0 & 3\end{array}\right], então o elemento da terceira linha e terceira coluna de sua inversa será igual?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & 0 & -1 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & 1 & 1 \\[6pt] -1 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede \bigl(A^{-1}\bigr)_{33}. Para encontrar esse elemento, usamos que \bigl(A^{-1}\bigr)_{i3} é a i-ésima componente da solução do sistema
A\,x = e_{3},
onde e_{3}=(0,0,1,0)^{T}.]

Passo 2

Escrevemos o sistema A x = e_{3}. Se x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}, então
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=0,\\\ x_{1}-x_{3}+x_{4}=0,\\\ x_{2}+x_{3}+x_{4}=1,\\\\ -\,x_{1}+3x_{4}=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue
x_{2} = -2x_{1},
e da quarta equação
-\,x_{1}+3x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=3x_{4}.
Substituindo em x_{2} obtém-se
x_{2}=-2\,(3x_{4})=-6x_{4}.

Passo 4

A segunda equação dá
x_{1}-x_{3}+x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad 3x_{4}-x_{3}+x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=4x_{4}.

Passo 5

Na terceira equação temos
x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad (-6x_{4})+(4x_{4})+x_{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad (-6+4+1)x_{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\,x_{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=-1.

Passo 6

Com x_{4}=-1 vem
x_{1}=3(-1)=-3,\quad x_{2}=-6(-1)=6,\quad x_{3}=4(-1)=-4.

Resposta

-4

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