Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas: uma de raio r cheia até a altura h e outra de raio \frac{r}{2} e cheia até a altura 2 h. A primeira é vendida por \mathrm{R} \ 3,00 e a segunda por R\ 1,60. Qual a embalagem mais vantajosa para o comprador?
“Já que você tem que pensar de qualquer forma, pense grande”. (Donald Trump)

Passo 1

O enunciado apresenta duas latas cilíndricas de suco:
– Lata 1 com raio \!r\! e altura \!h\!, vendida por R$ 3,00.
– Lata 2 com raio \!\tfrac{r}{2}\! e altura \!2h\!, vendida por R$ 1,60.
Para decidir qual é mais vantajosa, vamos calcular o volume de cada lata e dividir pelo respectivo preço, pois quem compra quer o maior volume por real pago.

Passo 2

Calcular o volume da lata 1. O volume de um cilindro é dado por \!V=\pi R^2H\!. Aqui R=r e H=h, logo
V_1 = \pi r^2 h.
O preço é R$ 3,00, então o volume por real pago é
\frac{V_1}{3,00} = \frac{\pi r^2 h}{3}.

Passo 3

Calcular o volume da lata 2. Agora R=\tfrac{r}{2} e H=2h, então
V_2 = \pi\Bigl(\tfrac{r}{2}\Bigr)^{2}(2h) = \pi \frac{r^2}{4}\,2h = \frac{\pi r^2 h}{2}.
O preço é R$ 1,60, portanto o volume por real é
\frac{V_2}{1,60} = \frac{\frac{\pi r^2 h}{2}}{1,60} = \frac{\pi r^2 h}{3{,}20}.

Passo 4

Comparar as duas razões de volume por real:
\frac{\pi r^2 h}{3} \quad\text{versus}\quad \frac{\pi r^2 h}{3{,}20}.
Como 3 < 3{,}20, temos
\frac{\pi r^2 h}{3} > \frac{\pi r^2 h}{3{,}20},
isto é, cada real gasto na lata 1 rende mais volume de suco do que na lata 2.

Resposta

A embalagem de raio \!r\! e altura \!h\! (primeira lata) é mais vantajosa para o comprador.

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