5-Se a matriz \left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\\ x^{2} & 0 & 1-y \\\ x & y-3 & 1\end{array}\right]_{3 \times 3} é simétrica, então o valor de x+y é?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\\ x^{2} & 0 & 1 - y\\\ x & y - 3 & 1 \end{pmatrix}
e pede x+y sabendo que ela é simétrica.
Para uma matriz A ser simétrica, vale A = A^{\mathrm T}, ou seja, cada elemento fora da diagonal principal tem de coincidir com o seu correspondente transposto.

Passo 2

Igualando o elemento da posição (1,2) com o da posição (2,1), temos
1 = x^{2},
logo
x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 1.

Passo 3

Agora igualamos o elemento da posição (1,3) com o da posição (3,1):
-1 = x \quad\Longrightarrow\quad x = -1.
Isso descarta x = +1 e fixa x = -1.

Passo 4

Finalmente igualamos o elemento da posição (2,3) com o da posição (3,2):
1 - y = y - 3.
Somando y dos dois lados e 3 ao lado esquerdo dá
1 + 3 = y + y \quad\Longrightarrow\quad 4 = 2y \quad\Longrightarrow\quad y = 2.

Passo 5

Com x = -1 e y = 2, somamos
x + y = -1 + 2 = 1.

Resposta

1

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