Sendo \log _{5} 2=0,43, utilize as propriedades e calcule os logaritmos:
\log _{5} 4

Passo 1

O enunciado dá a informação \log_{5}2=0,43 e pede para calcular \log_{5}4.
Informações relevantes que temos:
  • Dado: \log_{5}2=0,43.
  • Pedido: encontrar \log_{5}4.

Passo 2

Lembra do que é logaritmo: dizer que y=\log_{a}b significa exatamente que a potência de a que dá b é y. Em símbolos:
y=\log_{a}b \quad\Longleftrightarrow\quad a^{y}=b.
Aqui a é a base do logaritmo (no nosso caso a=5), b é o número cujo logaritmo queremos, e y é o valor do logaritmo.

Passo 3

Uma propriedade muito útil de logaritmos é a regra da potência:
\log_{a}\big(x^{k}\big)=k\log_{a}x.
Explicação rápida do porquê: se t=\log_{a}x então x=a^{t}. Portanto x^{k}=a^{kt} e tomando logaritmo base a dos dois lados vem \log_{a}(x^{k})=kt=k\log_{a}x.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso concreto: como 4=2^{2}, temos
\log_{5}4=\log_{5}\big(2^{2}\big)=2\log_{5}2.
Aqui usei explicitamente que peguei do enunciado o valor de \log_{5}2.

Passo 5

Substituo o valor dado e calculo:
\log_{5}4=2\cdot\log_{5}2=2\cdot0,43=0,86.
O cálculo é uma multiplicação simples de 0,43 por 2, resultando em 0,86.

Resposta

0,86

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