Usando uma calculadora, obtenha os logaritmos a seguir. Observe que o símbolo \ln \mathrm{x} representa o logaritmo neperiano de x , ou seja, o logaritmo de x na base e (onde e é uma constante matemática que vale aproximadamente 2,7182 \ldots ).
\log _{2} 21

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do logaritmo \log_{2} 21.
Informação dada: o número cujo logaritmo queremos é 21 e a base do logaritmo é 2.
Pedido: obter numericamente \log_{2} 21 (usar calculadora).

Passo 2

Conceito e fórmula útil (mudança de base). Não precisa decorar vários botões da calculadora: existe uma fórmula que transforma um logaritmo qualquer em razão de logaritmos na mesma base que a calculadora sabe calcular. A fórmula é
\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a},
onde:
  • \log_{a} b é o logaritmo de b na base a;
  • \ln é o logaritmo natural (base e), que a maioria das calculadoras tem como tecla “ln”;
  • a e b são números positivos e a\neq 1.
Aqui, aplicando a fórmula para a=2 e b=21:
\log_{2}21 = \frac{\ln 21}{\ln 2}.
Explicando devagar: calcule \ln 21, calcule \ln 2 e divida o primeiro pelo segundo. Isso dá o logaritmo na base 2.

Passo 3

Calcular \ln 21 na calculadora. Ao pressionar a tecla \ln e depois digitar 21, obtém-se (valor aproximado)
\ln 21 \approx 3,044522437723423.
Observação: este número veio da tecla \ln da calculadora.

Passo 4

Calcular \ln 2 na calculadora. Ao pressionar a tecla \ln e depois digitar 2, obtém-se (valor aproximado)
\ln 2 \approx 0,6931471805599453.

Passo 5

Dividir os dois resultados conforme a fórmula de mudança de base:
\log_{2}21 = \frac{\ln 21}{\ln 2} \approx \frac{3,044522437723423}{0,6931471805599453}.
Fazendo a divisão na calculadora obtém-se
\log_{2}21 \approx 4,392317422778760.

Passo 6

Interpretação e dica prática para a prova: \log_{2}21 está entre \log_{2}16=4 e \log_{2}32=5, então faz sentido que seja 4,algo. Se a calculadora não tiver \ln mas tiver \log (base 10), pode usar a mesma fórmula trocando \ln por \log (base 10):
\log_{2}21 = \frac{\log 21}{\log 2}.
Outra verificação rápida: como 21=3\cdot7, então \log_{2}21=\log_{2}3+\log_{2}7; somando dois valores computados dá o mesmo resultado numérico, se quiser checar.

Resposta

\log_{2}21 \approx 4,392317422778760

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