Sendo A=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 2\} e B=\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 0\} determine A \cup B e A \cap B.

Passo 1

O enunciado dá dois subconjuntos de \mathbb{R}: A=\{x\in\mathbb{R}\mid x\le2\} e B=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge0\}.
Queremos calcular a união A\cup B e a interseção A\cap B, usando a representação em intervalos e as definições:
– União contém os x que satisfazem pelo menos uma das condições.
– Interseção contém os x que satisfazem ambas as condições.

Passo 2

Traduzindo em intervalos na reta real, temos
A = (-\infty,2]
B = [0,\infty)

Passo 3

Para a união, x\in A\cup B se e somente se x\le2 ou x\ge0.
Como qualquer número real satisfaz ao menos uma dessas desigualdades, concluímos
A\cup B = (-\infty,\infty) = \mathbb{R}.

Passo 4

Para a interseção, x\in A\cap B se e somente se x\le2 e x\ge0 simultaneamente.
Isso equivale a
0 \le x \le 2
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A\cap B = [0,2].

Resposta

A\cup B = \mathbb{R} A\cap B = [0,2]

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