Calcule as integrais abaixo.
\int x^{3} \cos \left(5 x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\,\cos\bigl(5x^{4}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é o método de substituição (ou mudança de variável) em integrais, que aproveita uma parte da função cujo diferencial aparece no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5x^{4}.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando u em relação a x temos
\frac{du}{dx} = 5 \cdot 4x^{3} = 20x^{3},
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du = 20\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{20}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, trocamos x^{3}\,dx por \tfrac{1}{20}\,du e 5x^{4} por u. Assim,
\int x^{3}\,\cos\bigl(5x^{4}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{20}\,du = \frac{1}{20}\,\int \cos(u)\,du.
A integral de \cos(u) é \sin(u), pois \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u).

Passo 4

Portanto,
\frac{1}{20}\,\int \cos(u)\,du = \frac{1}{20}\,\sin(u) + C.
Voltando à variável original x (onde u=5x^{4}), obtemos
\frac{1}{20}\,\sin\bigl(5x^{4}\bigr) + C.

Resposta

\int x^{3}\,\cos\bigl(5x^{4}\bigr)\,dx = \frac{1}{20}\,\sin\bigl(5x^{4}\bigr) + C.

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