Calcule as integrais abaixo.
\int \frac{x^{2}}{7-x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida \displaystyle \int \frac{x^{2}}{7 - x^{3}} \, dx.
O conteúdo da matéria é a técnica de substituição simples, pois a derivada de 7 - x^{3} aparece proporcional a x^{2}.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 7 - x^{3},
de modo que
du = -3x^{2}\,dx
e, portanto,
x^{2}\,dx = -\tfrac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{x^{2}}{7 - x^{3}} \, dx = \int \frac{-\tfrac{1}{3}\,du}{u} = -\tfrac{1}{3} \int \frac{du}{u}.

Passo 4

Integramos \tfrac{1}{u}, obtendo
-\tfrac{1}{3}\int \frac{du}{u} = -\tfrac{1}{3}\ln\lvert u\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável original x pela relação u = 7 - x^{3}, concluímos
\int \frac{x^{2}}{7 - x^{3}} \, dx = -\tfrac{1}{3}\ln\lvert 7 - x^{3}\rvert + C.

Resposta

-\tfrac{1}{3}\ln\lvert 7 - x^{3}\rvert + C

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