Sendo \mathbf{z}=\left(\mathbf{m}^{\mathbf{2}}-\mathbf{5 m}+\mathbf{6}\right)+\mathbf{j}\left(\mathbf{m}^{\mathbf{2}}-\mathbf{1}\right), determine \mathbf{m} de modo que \mathbf{z} seja um imaginário puro.

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
\mathbf{z} = \bigl(m^{2} - 5m + 6\bigr) \;+\; j\,\bigl(m^{2} - 1\bigr)
e pede o valor de m para que \mathbf{z} seja um imaginário puro. O conteúdo é análise de número complexo: para que um número seja imaginário puro, sua parte real deve ser zero.

Passo 2

Identificamos a parte real e a parte imaginária de \mathbf{z}:
\text{Re}(\mathbf{z}) = m^{2} - 5m + 6, \qquad \text{Im}(\mathbf{z}) = m^{2} - 1.

Passo 3

Impondo a condição de número imaginário puro, fazemos
\text{Re}(\mathbf{z}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2} - 5m + 6 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
m^{2} - 5m + 6 = (m - 2)(m - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 2 \quad\text{ou}\quad m = 3.

Passo 5

Verificamos que, para m=2 e m=3, a parte imaginária não se anula:
m=2 \;\Rightarrow\; m^{2}-1 = 4-1 = 3 \neq 0, \quad m=3 \;\Rightarrow\; m^{2}-1 = 9-1 = 8 \neq 0.
Logo, de fato \mathbf{z} é um imaginário puro nesses casos.

Resposta

m = 2 ou m = 3.

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