Sendo \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right] e \mathrm{B}=-2 \mathrm{~A}, determine a matriz X , tal que 2 \mathrm{X}-3 \mathrm{~A}=\frac{1}{2} \mathrm{~B}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 1\end{pmatrix}
e a definição \mathrm{B}=-2\mathrm{A}. Pede-se encontrar a matriz \mathrm{X} que satisfaz a equação
2\mathrm{X}-3\mathrm{A}=\tfrac{1}{2}\mathrm{B}.
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &\text{Dado: }\mathrm{A}=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 1\end{pmatrix},\\[4pt] &\text{Dado: }\mathrm{B}=-2\mathrm{A},\\[4pt] &\text{Procurar: matriz }\mathrm{X}\text{ tal que }2\mathrm{X}-3\mathrm{A}=\tfrac{1}{2}\mathrm{B}. \end{aligned}]

Passo 2

Vamos lembrar um conceito importante: multiplicação de matriz por escalar. Quando multiplicamos uma matriz por um número (escala), multiplicamos cada entrada da matriz por esse número. Ou seja, se \lambda é um escalar e \mathrm{M}=(m_{ij}), então
\lambda\mathrm{M}=(\lambda m_{ij}).
Isso vale para qualquer matriz compatível de tamanho.

Passo 3

Aplicando a definição de \mathrm{B} dada no enunciado, temos
\mathrm{B}=-2\mathrm{A}.
Vamos calcular \tfrac{1}{2}\mathrm{B} usando a propriedade da multiplicação por escalar (multiplicar por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar o escalar que já multiplica \mathrm{A}):
\tfrac{1}{2}\mathrm{B}=\tfrac{1}{2}(-2\mathrm{A}).

Passo 4

Agora simplificamos o escalar:
\tfrac{1}{2}(-2\mathrm{A})=(\tfrac{1}{2}\cdot -2)\mathrm{A}=-1\mathrm{A}=-\mathrm{A}.
Portanto
\tfrac{1}{2}\mathrm{B}=-\mathrm{A}.

Passo 5

Substituindo \tfrac{1}{2}\mathrm{B}=-\mathrm{A} na equação original obtemos uma equação mais simples em \mathrm{X}:
2\mathrm{X}-3\mathrm{A}=-\mathrm{A}.

Passo 6

Tratamos essa equação exatamente como uma equação linear em incógnita matricial: podemos somar 3\mathrm{A} aos dois lados para isolar o termo com \mathrm{X}. Somar matrizes é feito entrada a entrada, mas aqui estamos manipulando os símbolos, então:
2\mathrm{X}-3\mathrm{A}+3\mathrm{A}=-\mathrm{A}+3\mathrm{A}.
Isso simplifica para
2\mathrm{X}=2\mathrm{A}.

Passo 7

Agora dividimos (ou multiplicamos pelo inverso do escalar) ambos os lados por 2. O inverso multiplicativo do escalar 2 é \tfrac{1}{2}. Multiplicar uma matriz por \tfrac{1}{2} é definido conforme no Passo 2. Aplicando \tfrac{1}{2} em ambos os lados:
\mathrm{X}=\tfrac{1}{2}\cdot 2\mathrm{A}=(\tfrac{1}{2}\cdot 2)\mathrm{A}=1\mathrm{A}=\mathrm{A}.

Passo 8

Concluímos que \mathrm{X} é igual à matriz \mathrm{A}. Para ter certeza, podemos verificar substituindo \mathrm{X}=\mathrm{A} na equação original:
2\mathrm{X}-3\mathrm{A}=2\mathrm{A}-3\mathrm{A}=-\mathrm{A},
e como vimos no Passo 4,
\tfrac{1}{2}\mathrm{B}=-\mathrm{A},
portanto a igualdade é satisfeita, confirmação completa.

Resposta

\mathrm{X}=\begin{pmatrix}-1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 1 & 1\end{pmatrix}]

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