Calcule a transformada inversa de:
(s+1) /\left(s^{2}-s\right).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
\frac{s+1}{s^{2}-s}\,.
O conteúdo principal é o uso de frações parciais para decompor a função em termos cujas transformadas inversas sejam conhecidas.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{s+1}{s^{2}-s} = \frac{s+1}{s(s-1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s-1}\,.

Passo 3

Para determinar A\) e \(B\), escrevemos \[s+1 = A(s-1) + B\,s = (A+B)\,s - A
Comparando coeficientes de s e termo constante:
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -\,A = 1, \end{cases}
logo A=-1\] e \(B=2. Assim
\frac{s+1}{s(s-1)} = -\frac{1}{s} + \frac{2}{s-1}\,.

Passo 4

Agora aplicamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{1}{s}\bigr\}(t)=1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\{\tfrac{1}{s-1}\}(t)=e^{t}.
Portanto, por linearidade,
f(t) = -1 + 2\,e^{t},\quad t\ge0.

Resposta

f(t) = -1 + 2\,e^{t}.

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