Prove que (b^-1 cdot a^-1) cdot(a cdot b)=e, justificando cada igualdade usada.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, num grupo (G,cdot) com identidade e e inversos, vale
(b^-1cdot a^-1)cdot(acdot b)=e
O conteúdo é teoria de grupos: usaremos associatividade, existência de identidade e definição de inverso.

Passo 2

Aplicando associatividade da operação cdot, temos
(b^-1cdot a^-1)cdot(acdot b) = b^-1cdotl(a^-1cdot ar)cdot b

Passo 3

Pela definição de inverso de a, a^-1cdot a = e. Substituindo,
b^-1cdotl(a^-1cdot ar)cdot b = b^-1cdot ecdot b

Passo 4

Pela propriedade da identidade, b^-1cdot e = b^-1. Logo,
b^-1cdot ecdot b = b^-1cdot b

Passo 5

Novamente pela definição de inverso de b, b^-1cdot b = e. Portanto o produto inicial é e.

Resposta

(b^-1cdot a^-1)cdot(acdot b)=e

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