Sejam Q=(1,1,1) e P=(1,-1,2) dois pontos e N=(1,2,3) um vetor do espaço. Determine o ponto de interseção da reta que passa por P e tem a direção de N, e o plano que passa por Q e é perpendicular ao vetor N.

Passo 1

Temos dois pontos P=(1,-1,2) e Q=(1,1,1) e um vetor normal N=(1,2,3). A tarefa é achar o ponto de intersecção entre a reta que passa por P na direção de N e o plano que passa por Q e é perpendicular a N. Vamos usar geometria analítica no espaço, montando a equação paramétrica da reta e a forma normal do plano para resolver.

Passo 2

A equação paramétrica da reta com ponto P e direção N é dada por
r(t)=P+tN=(1,-1,2)+t,(1,2,3)
Para o plano com ponto Q e normal N, usamos a forma normal Ncdot(X-Q)=0. Explicitando,
$$
(1,2,3)\cdot(x-1,y-1,z-1)=0.
$$

Passo 3

Para encontrar o parâmetro t do ponto de interseção, substituímos r(t) na equação do plano. Isso dá
Ncdotl(P+tN-Qr)=0Longrightarrow Ncdot(P-Q)+t,Ncdot N=0
Calculando P-Q=(0,-2,1), temos
Ncdot(P-Q)=1cdot0+2cdot(-2)+3cdot1=-1,
e também
Ncdot N=1^2+2^2+3^2=14
Logo
-1 +14,t=0Longrightarrow t=114

Passo 4

Finalmente, substituímos t=1/14 em r(t) para obter o ponto de interseção:
P+tfrac114N=l(1+tfrac114,-1+tfrac214,2+tfrac314r)=l(tfrac1514,-tfrac67,tfrac3114r)

Resposta

(tfrac1514,-tfrac67,tfrac3114)

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