Sendo
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para todo
, que
Informações dadas: a integral imprópria sobre
da função
. O que precisamos provar é que esse valor é igual a
. Não há outras perguntas no enunciado.
Passo 2
Vamos transformar a integral por uma substituição simples que elimina o quadrado no expoente. Faça a substituição
Dessa relação segue
Quando
temos
. Quando
temos
. Substituindo na integral, observe que
e
. Portanto
Passo 3
Definimos, para simplificar a notação,
Pela transformação do passo anterior temos que a integral original vale
. Agora precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos provar que
por indução em
. Primeiro a base
:
Passo 5
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
. Mostramos que
. Faça integração por partes em
Escolhemos
e
. Então
e
. A fórmula de integração por partes dá
Precisamos analisar o termo de fronteira
. Uma maneira rápida de ver que esse limite é
é reescrevê-lo como
e aplicar a regra de L’Hôpital
vezes: ao derivar
vezes o numerador obtemos
e o denominador continua sendo
, cujo limite quando
é
; portanto a fração tende a
. Assim o termo de fronteira vale zero e obtemos
Pela hipótese de indução
, segue
. Isso completa a indução, logo para todo
vale
.
Passo 6
Voltando à integral original, do passo 2 tínhamos
Como
, concluímos que